Marque a alternativa que apresenta um intervalo no qual a função f(x) = (x² - 3)eˣ é estritamente decrescente.

Alternativa D

Para determinar o intervalo onde a função é estritamente decrescente, precisamos analisar o sinal de sua primeira derivada. Uma função f(x) é estritamente decrescente quando sua derivada f'(x) é menor que zero (f'(x) < 0).

Análise do Problema

A função dada é:
f(x) = (x^2 - 3)e^x

Passo 1: Calcular a Derivada

Utilizamos a regra do produto (uv)' = u'v + uv', onde u = x^2 - 3 e v = e^x.

• Derivada de u: u' = 2x
• Derivada de v: v' = e^x

Substituindo na fórmula:
f'(x) = (2x) \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x

Fatorando e^x:
f'(x) = e^x(2x + x^2 - 3)
f'(x) = e^x(x^2 + 2x - 3)

Passo 2: Resolver a Desigualdade

Queremos encontrar onde f'(x) < 0:
e^x(x^2 + 2x - 3) < 0

Sabemos que a função exponencial e^x é sempre positiva para qualquer número real (e^x > 0). Portanto, podemos dividir pela e^x sem alterar o sentido da desigualdade, focando apenas no polinômio quadrático:
x^2 + 2x - 3 < 0

Passo 3: Encontrar as Raízes

Resolvemos a equação x^2 + 2x - 3 = 0 para encontrar os pontos críticos.
Fatorando o trinômio:
(x + 3)(x - 1) = 0

As raízes são:

• x_1 = -3
• x_2 = 1

Como o coeficiente do termo x^2 é positivo (+1), a parábola abre-se para cima. Isso significa que a expressão é negativa (menor que zero) entre as raízes.

O intervalo de decrescimento estrito é:
-3 < x < 1
Ou seja, x \in (-3, 1).

Passo 4: Verificar as Alternativas

Precisamos encontrar qual das alternativas está contida inteiramente dentro do intervalo (-3, 1).

A alternativa D representa um subconjunto válido do intervalo de decrescimento.

Alternativa D.