Alternativa A
Para encontrar o comprimento do arco (perímetro) de uma curva definida por uma função y=f(x), utilizamos a fórmula da integral de arco. Como a elipse possui simetria em relação aos eixos coordenados, calculamos o comprimento de um quarto da elipse (primeiro quadrante) e multiplicamos o resultado por 4.
Passo a passo da dedução:
- Equação da Elipse: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. Isolando y no primeiro quadrante (y \ge 0):
y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} - Fórmula do Comprimento de Arco: O comprimento L é dado por:
L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
Para o perímetro total, multiplicamos por 4 e integramos de $0$ a a:
P = 4 \int_{0}^{a} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx - Cálculo da Derivada: Derivando y em relação a x:
\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{2}(a^2 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{bx}{a\sqrt{a^2 - x^2}} - Montagem do Integrando: Elevando a derivada ao quadrado e somando 1:
1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \frac{b^2 x^2}{a^2(a^2 - x^2)} = \frac{a^2(a^2 - x^2) + b^2 x^2}{a^2(a^2 - x^2)}
Simplificando o numerador (lembrando que a^2 - b^2 = c^2, onde c é a distância focal):
= \frac{a^4 - a^2 x^2 + b^2 x^2}{a^2(a^2 - x^2)} = \frac{a^4 - x^2(a^2 - b^2)}{a^2(a^2 - x^2)} = \frac{a^4 - c^2 x^2}{a^2(a^2 - x^2)} - Integral Final: Substituindo na fórmula do perímetro:
P = 4 \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a^4 - c^2 x^2}{a^2(a^2 - x^2)}} \, dx = \frac{4}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a^4 - c^2 x^2}{a^2 - x^2}} \, dx
Esta forma corresponde à estrutura apresentada na Alternativa A, que contém o fator \frac{4}{a} e a raiz quadrada com o termo complexo no numerador (devido às limitações de reconhecimento de texto na imagem original, o termo a^4 - c^2 x^2 pode aparecer distorcido, mas a estrutura matemática é única entre as opções). As outras alternativas representam fórmulas para círculos ou possuem dimensões incorretas.