No circuito elétrico a seguir, R₁ = 2 Ω, R₂ = 4 Ω, L = 1 H e C = 1 F. Considerando estes valores, obtenha a função de transferência Vc(s)/Vi(s). Utilize a Lei de Kirchhoff das Correntes e adote como referência o nó indicado no circuito.

Alternativa A

Para encontrar a função de transferência V_c(s)/V_i(s), precisamos analisar o circuito no domínio da frequência complexa (domínio 's'), utilizando as impedâncias dos componentes.

Análise do Circuito

Primeiro, definimos as impedâncias dos componentes com os valores dados (R_1=2\,\Omega, R_2=4\,\Omega, L=1\,H, C=1\,F):

• Resistores: Z_R = R
• Indutor: Z_L = sL = s \cdot 1 = s
• Capacitor: Z_C = \frac{1}{sC} = \frac{1}{s \cdot 1} = \frac{1}{s}

Observação importante: O resistor R_1 está em paralelo com a fonte de tensão ideal V_i(s). Em circuitos ideais, uma fonte de tensão define a diferença de potencial nos seus terminais independentemente da carga em paralelo. Portanto, R_1 não interfere na relação entre a tensão de entrada e a tensão no restante do circuito (indutor + capacitor/resistor). Podemos focar na parte direita do circuito.

Aplicação da Lei de Kirchhoff das Correntes (KCL)

O enunciado solicita o uso da Lei de Kirchhoff das Correntes. Vamos aplicar no nó de saída, onde a tensão é V_c(s) (acima do capacitor e do resistor R_2).

As correntes que entram e saem desse nó são:

1. Corrente vinda do indutor (I_L): Sai da fonte V_i(s) e passa pelo indutor.
   I_L = \frac{V_i(s) - V_c(s)}{Z_L} = \frac{V_i(s) - V_c(s)}{s}
2. Corrente que desce pelo capacitor (I_C):
   I_C = \frac{V_c(s)}{Z_C} = \frac{V_c(s)}{1/s} = s \cdot V_c(s)
3. Corrente que desce pelo resistor R_2 (I_{R2}):
   I_{R2} = \frac{V_c(s)}{R_2} = \frac{V_c(s)}{4}

A soma das correntes que saem do nó deve ser igual à corrente que entra (ou a soma algébrica é zero). Igualando a corrente de entrada às somas das saídas:

Resolução Algébrica

Agora, isolamos a função de transferência \frac{V_c(s)}{V_i(s)}:

1. Multiplicamos toda a equação por s para eliminar o denominador da primeira fração:
   V_i(s) - V_c(s) = s^2 \cdot V_c(s) + \frac{s}{4} \cdot V_c(s)
2. Agrupamos os termos com V_c(s) no mesmo lado:
   V_i(s) = V_c(s) + s^2 \cdot V_c(s) + \frac{s}{4} \cdot V_c(s)
   V_i(s) = V_c(s) \left( 1 + s^2 + \frac{s}{4} \right)
3. Isolamos a razão \frac{V_c(s)}{V_i(s)}:
   \frac{V_c(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{s^2 + \frac{s}{4} + 1}
4. Para obter a forma das alternativas, multiplicamos o numerador e o denominador por 4:
   \frac{V_c(s)}{V_i(s)} = \frac{1 \cdot 4}{4 \left( s^2 + \frac{s}{4} + 1 \right)}
   \frac{V_c(s)}{V_i(s)} = \frac{4}{4s^2 + s + 4}

Esta expressão corresponde exatamente à Alternativa A.