Alternativa A
Para determinar em qual intervalo a função g(x) é derivável, precisamos analisar a suavidade e a continuidade do gráfico fornecido.
Conceitos Fundamentais
Uma função é considerada derivável em um intervalo se ela satisfaz duas condições principais nesse intervalo:
- Continuidade: Não pode haver "saltos" ou buracos no gráfico.
- Suavidade: Não pode haver "quinas" ou pontas (pontos onde a inclinação da tangente muda abruptamente).
Análise do Gráfico
Observando o gráfico da função g(x), identificamos três pontos críticos onde a derivabilidade é comprometida:
- Em x = 2: Existe um salto (descontinuidade). Há um círculo vazio abaixo e um ponto preenchido acima. Funções descontínuas nunca são deriváveis nesses pontos.
- Em x = 4: Observa-se um ponto de quina (ângulo). A curva muda de direção abruptamente (de um arco para uma reta/curva com inclinação diferente). A derivada à esquerda é diferente da derivada à direita.
- Em x = 6: Também ocorre uma mudança brusca na inclinação (quina), indicando não-derivabilidade neste ponto específico.
Avaliação das Alternativas
Vamos testar cada intervalo proposto:
| Alternativa | Intervalo | Problema Encontrado | Resultado |
|---|
| (A) | [5, 6] | Apenas a extremidade x=6 apresenta quina, mas o interior (5, 6) é suave. É a melhor opção. | Correta |
| (B) | [4, 5] | Começa em x=4, que é um ponto de quina. | Incorreta |
| (C) | [3, 5] | O ponto x=4 está dentro do intervalo, causando interrupção na suavidade. | Incorreta |
| (D) | [2, 4] | Contém x=2 (descontinuidade) e x=4 (quina). | Incorreta |
| (E) | [4, 6] | Contém tanto x=4 quanto x=6 (ambos pontos de quina). | Incorreta |
Conclusão
A alternativa A é a correta porque o intervalo [5, 6] é o único que não contém internamente os pontos de descontinuidade (x=2) ou os pontos angulosos mais evidentes (x=4). Embora x=6 seja uma extremidade com quina, este é o único intervalo viável entre as opções dadas, pois todas as outras incluem necessariamente o ponto x=4, onde a função definitivamente não é suave.