No estudo do comportamento gráfico de funções, a análise da derivabilidade em diferentes intervalos é essencial para compreender a suavidade e a continuidade da curva. O gráfico apresenta a função g(x). Marque a alternativa que apresenta um intervalo onde a função é derivável.

Resposta

Alternativa B - ]4, 5[

Para determinar onde uma função é derivável, é necessário verificar dois critérios fundamentais em todo o intervalo escolhido:

1. Continuidade: A curva não pode ter saltos ou buracos.
2. Suavidade: A curva não pode apresentar "quinas" (mudanças bruscas de direção).

Análise dos Pontos Críticos do Gráfico

Observando o comportamento da função g(x) nos eixos, identificamos três regiões problemáticas que impedem a derivabilidade:

• Em x = 3 (Descontinuidade): Há um salto visível. O círculo vazio está abaixo e o círculo cheio está acima. Como a função não é contínua neste ponto, ela não é derivável em x=3.
• Em x = 4 (Buraco): Existe um círculo vazio no topo da curva. Isso indica que a função não está definida exatamente naquele ponto (ou é descontínua). Embora seja uma descontinuidade removível, a falta de definição impede a derivabilidade no ponto exato.
• Em x = 5 (Quina/Vértice): A curva descendente encontra-se com uma reta ascendente. A inclinação muda bruscamente de negativa para positiva. Como a derivada à esquerda é diferente da derivada à direita, a função não é derivável em x=5.

Verificação das Alternativas

Vamos testar cada intervalo proposto para ver se ele contém algum desses pontos problemáticos:

Conclusão

A única alternativa que propõe um intervalo inteiramente livre de descontinuidades e quinas é a B. O intervalo aberto ]4, 5[ exclui os pontos problemáticos x=4 e x=5, deixando apenas a parte da curva que é perfeitamente suave.

Portanto, a alternativa correta é a B, e não a D marcada na imagem apresentada.