O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo de componentes e o vetor gradiente o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto P(x,y,z) do espaço tridimensional é expresso pela função V(x,y,z) = 1/√(x²+y²+z²). Assinale a alternativa que corresponde à direção em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico “η” no ponto P(2,2,-1).

Alternativa A

Justificativa Didática

Para resolver esta questão, precisamos aplicar os conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente sobre Gradiente e Derivada Direcional.

1. Conceito Fundamental

A maior taxa de variação de uma função escalar (como o potencial elétrico V) em um determinado ponto ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente (\nabla V) naquele ponto.

Portanto, nosso objetivo é calcular o gradiente de V no ponto P(2, 2, -1) e encontrar o vetor unitário correspondente.

2. Calculando o Gradiente

A função dada é:
V(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2}

O vetor gradiente é definido pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
\nabla V = \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z} \right)

Aplicando a regra da cadeia:

• \frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} \cdot (2x) = \frac{-x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}
• \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{-y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}
• \frac{\partial V}{\partial z} = \frac{-z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}

Assim, o vetor gradiente geral é:
\nabla V = \frac{1}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} (-x, -y, -z)

3. Avaliando no Ponto P(2, 2, -1)

Primeiro, calculamos o termo do denominador usando as coordenadas do ponto:
x^2 + y^2 + z^2 = 2^2 + 2^2 + (-1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9

O denominador elevado a $3/2$ fica:
(9)^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27

Agora substituímos x, y, z nos componentes do numerador:

• x$-componente: $-2
• y$-componente: $-2
• z$-componente: $-(-1) = 1

Logo, o vetor gradiente no ponto P é:
\nabla V(2,2,-1) = \left( -\frac{2}{27}, -\frac{2}{27}, \frac{1}{27} \right)

4. Encontrando a Direção e Sentido (Vetor Unitário)

A questão pede a direção e o sentido, o que matematicamente corresponde ao vetor unitário na direção do gradiente. Para isso, devemos normalizar o vetor (dividir pelo seu módulo).

Podemos ignorar o fator constante \frac{1}{27} momentaneamente para achar a direção, pois ela não altera o ângulo do vetor. Vamos usar o vetor proporcional \vec{v} = (-2, -2, 1).

Calculamos o módulo deste vetor proporcional:
|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3

O vetor unitário \vec{u} é dado por \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}:
\vec{u} = \frac{1}{3} (-2, -2, 1) = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)

Conclusão

Comparando o resultado obtido com as alternativas:

• Alternativa A: u = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) — Correta.
• As demais alternativas apresentam sinais incorretos ou magnitudes que não representam o vetor unitário correto.