O conhecimento das principais fórmulas de derivação permite agilizar a obtenção de derivadas de funções usuais. A derivada da função dada por $f(x) = ext{cos}^5(x^6)$ vale:

Alternativa E

Para encontrar a derivada da função composta f(x) = \cos^5(x^6), devemos aplicar a Regra da Cadeia sucessivamente, "descascando" a função das camadas externas para as internas.

Passo a Passo da Derivação

A função pode ser vista como uma composição de três funções:

1. Função Externa: Potência de grau 5, ou seja, (\dots)^5.
2. Função Intermediária: Cosseno, \cos(\dots).
3. Função Interna: Potência de x, ou seja, x^6.

A regra da cadeia estabelece que a derivada total é o produto das derivadas de cada camada:

1. Derivada da potência (u^5 \to 5u^4):
   Mantemos a parte interna e multiplicamos pelo expoente reduzido em 1:
   5 \cdot \cos^4(x^6)
2. Derivada do cosseno (\cos(u) \to -\text{sen}(u)):
   Multiplicamos pela derivada do ângulo, lembrando que a derivada do cosseno traz um sinal negativo e muda para seno:
   \cdot [-\text{sen}(x^6)]
3. Derivada do argumento interno (x^6 \to 6x^5):
   Finalmente, derivamos o termo mais interno x^6:
   \cdot [6x^5]

Montagem Final

Juntando todos os fatores obtidos acima:

Agora, agrupamos os coeficientes numéricos ($5 \times -1 \times 6 = -30$) e reorganizamos a expressão:

Isso corresponde exatamente à Alternativa E.