O domínio da função f(x) = √x² + 6x + 5 + √(9-x²)/(x-7) é dado por:

Question

O domínio da função f(x) = √x² + 6x + 5 + √(9 x²)/(x 7) é dado por: A) D = {x ∈ R | 3 ≤ x < 7} B) D = {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 3} C) D = {x ∈ R | x ≤ 5 ou x 7} D) D = {x ∈ R | x ≤ 3 ou 3 ≤ x ≤ 5} E) D = {x ∈ R | x ≤ 5 ou 3 ≤ x < 7}

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa E Análise Detalhada Para encontrar o domínio da função $f(x)$, devemos garantir que todas as partes da expressão estejam definidas para números reais. Como a função possui duas raízes quadradas, analisamos cada uma separadamente. 1. Condição do primeiro termo: $\sqrt{x^2 + 6x + 5}$ A raiz quadrada só existe se o radicando for maior ou igual a zero: $$x^2 + 6x + 5 \geq 0$$ Resolvendo a equação associada $x^2 + 6x + 5 = 0$, encontramos as raízes: $\Delta = 6^2 4(1)(5) = 16$ $x = \frac{ 6 \pm 4}{2} \Rightarrow x' = 1, x'' = 5$ Como o coeficiente de $x^2$ é positivo, a parábola abre para cima. A desigualdade é verdadeira nas regiões externas às raízes: Condição 1: $x \leq 5$ ou $x \geq 1$ 2. Condição do segundo termo: $\sqrt{\frac{9 x^2}{x 7}}$ Aqui temos duas exigências: O conteúdo da raiz deve ser não negativo: $\frac{9 x^2}{x 7} \geq 0$ O denominador não pode ser zero: $x 7 
eq 0 \Rightarrow x 
eq 7$ Analisando os sinais da fração nos intervalos delimitados pelas raízes do numerador ($\pm 3$) e do denominador ($7$): Para $x < 3$: Numerador negativo, denominador negativo $\Rightarrow$ Fração positiva (OK). Para $ 3 < x < 3$: Numerador positivo, denominador negativo $\Rightarrow$ Fração negativa (Não OK). Para $3 < x < 7$: Numerador negativo, denominador negativo $\Rightarrow$ Fração positiva (OK). Para $x 7$: Numerador negativo, denominador positivo $\Rightarrow$ Fração negativa (Não OK). Incluindo os pontos onde o numerador é zero ($x = \pm 3$), mas excluindo $x=7$: Condição 2: $x \leq 3$ ou $3 \leq x < 7$ 3. Interseção dos Domínios O domínio final é a intersecção entre a Condição 1 e a Condição 2. Devemos encontrar os valores comuns: | Intervalo da Condição 1 | Intervalo da Condição 2 | Interseção | | : | : | : | | $x \leq 5$ | $x \leq 3$ | $x \leq 5$ | | $x \geq 1$ | $3 \leq x < 7$ | $3 \leq x < 7$ | Unindo os resultados válidos, obtemos: $$D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 5 	ext{ ou } 3 \leq x < 7\}$$ Portanto, a alternativa correta é a E .

Explicação passo a passo

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Intervalo da Condição 1	Intervalo da Condição 2	Interseção
$x \leq -5$	$x \leq -3$	$x \leq -5$
$x \geq -1$	$3 \leq x < 7$	$3 \leq x < 7$