O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos. Considere uma função f:R → R que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x) = 2f(x), para todo x ∈ R⁺. Se f(4) = 8, qual é o valor de f(1)?

Alternativa B

A questão apresenta uma função f definida nos reais positivos (\mathbb{R}^+) com uma propriedade específica de homogeneidade: f(2x) = 2f(x). O objetivo é encontrar f(1) sabendo que f(4) = 8.

Análise Detalhada

Para resolver, basta aplicar a regra da função de forma regressiva, indo do valor conhecido (f(4)) até o valor desconhecido (f(1)).

• Relacionando f(4) e f(2):
  Utilizando a fórmula f(2x) = 2f(x), substituímos x por $2$:
  f(2 \cdot 2) = 2 \cdot f(2)
  f(4) = 2 \cdot f(2)

Como sabemos que f(4) = 8, podemos montar a equação:
8 = 2 \cdot f(2)
f(2) = \frac{8}{2} = 4

• Relacionando f(2) e f(1):
  Agora aplicamos a mesma regra substituindo x por $1$:
  f(2 \cdot 1) = 2 \cdot f(1)
  f(2) = 2 \cdot f(1)

Substituímos o valor encontrado anteriormente (f(2) = 4):
4 = 2 \cdot f(1)
f(1) = \frac{4}{2} = 2

Portanto, o valor de f(1) é igual a 2.

Resposta Final: Alternativa B.