O gerente de produção de uma indústria deve tomar decisão sobre qual deve ser a meta de produção e venda de certo bem produzido por ela. Sobre esse produto, ele dispõe das seguintes informações: custo fixo de produção: R$ 15.000,00; custo (variável) unitário: R$ 40,00; função de demanda: Q = 400 - P. Qual é a quantidade que deve ser produzida e vendida desse bem para que se obtenha lucro máximo?

Alternativa B - 180

Para encontrar a quantidade que maximiza o lucro, precisamos construir a função do Lucro Total a partir das informações fornecidas sobre custo e demanda.

Análise Detalhada

1. Montando as Funções

Primeiro, definimos as funções de Custo Total e Receita Total em função da quantidade (Q):

• Custo Total (CT): Soma do custo fixo com o custo variável.
  CT = 15000 + 40Q
• Receita Total (RT): Preço (P) vezes Quantidade (Q). Precisamos isolar o P na função de demanda dada (Q = 400 - P).
  P = 400 - Q
  RT = P \cdot Q = (400 - Q) \cdot Q
  RT = 400Q - Q^2

2. Calculando a Função do Lucro

O lucro é a diferença entre a receita e o custo (L = RT - CT):

Simplificando os termos semelhantes:

Esta é uma função quadrática (parábola) onde o coeficiente de Q^2 é negativo (-1), indicando que a concavidade é voltada para baixo e possui um ponto de máximo.

3. Encontrando o Vértice da Parábola

O ponto de máximo lucro ocorre no vértice da parábola. Para uma função ax^2 + bx + c, a coordenada x do vértice é dada por V_x = \frac{-b}{2a}.

Nossa função:

• a = -1
• b = 360

Calculando a quantidade (Q):

Portanto, a empresa deve produzir e vender 180 unidades para atingir o lucro máximo.

Alternativa B.