O gerente de produção de uma indústria deve tomar decisão sobre qual deve ser a meta de produção e venda de certo bem produzido por ela. Sobre esse produto, ele dispõe das seguintes informações: custo variável: unitário: R$ 40,00 custo fixo de produção: R$ 15.000,00 função de demanda: Q = 400 – P O gráfico abaixo representa as funções custo, receita e lucro totais desse bem. Qual é a quantidade que deve ser produzida e vendida desse bem para que se obtenha lucro máximo?

Para determinar a quantidade que maximiza o lucro, precisamos construir a função matemática do lucro baseada nas informações fornecidas e encontrar seu ponto máximo (vértice da parábola).

Alternativa: 180 unidades

Resumo da Solução

A quantidade ótima de produção para maximizar o lucro é de 180 unidades. Isso ocorre quando a diferença entre a Receita Total e o Custo Total atinge seu valor máximo possível.

Análise Detalhada

Para resolver este problema, utilizaremos conceitos de microeconomia e álgebra (funções quadráticas). O lucro é definido como a diferença entre quanto a empresa recebe pela venda (Receita) e quanto ela gasta para produzir (Custo).

1. Determinar a Função Preço (P)
Temos a função de demanda:
Q = 400 - P

Isolando o preço (P):
P = 400 - Q

2. Determinar a Função Receita Total (R)
A receita é dada pelo preço multiplicado pela quantidade vendida (R = P \times Q).
Substituindo a expressão de P:
R = (400 - Q) \times Q
R = 400Q - Q^2

3. Determinar a Função Custo Total (C)
O custo total é a soma do custo fixo com o custo variável total.

• Custo Fixo (CF) = R$ 15.000,00
• Custo Variável Unitário (CV_u) = R$ 40,00

4. Determinar a Função Lucro (L)
O lucro é a Receita menos o Custo (L = R - C).
L = (400Q - Q^2) - (15.000 + 40Q)
L = 400Q - Q^2 - 15.000 - 40Q

Agrupando os termos semelhantes:
L = -Q^2 + 360Q - 15.000

Esta é uma função do segundo grau (parábola) com concavidade voltada para baixo (pois o coeficiente de Q^2 é negativo, -1), o que indica que existe um ponto de máximo.

5. Calcular o Vértice da Parábola (Q_{máx})
Para encontrar a quantidade que gera o maior lucro, calculamos a abscissa do vértice (V_x) da parábola usando a fórmula V_x = \frac{-b}{2a}.

Na nossa função L = -1Q^2 + 360Q - 15.000:

• a = -1
• b = 360

Portanto, para obter o lucro máximo, a indústria deve produzir e vender 180 unidades do bem.