O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q²+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido?

Alternativa E

Para encontrar o valor máximo de lucro, precisamos analisar a função quadrática fornecida no enunciado.

A função dada é:
L(q) = -4q^2 + 1.000q - 12.000

Esta é uma função do 2º grau da forma f(x) = ax^2 + bx + c, onde:

• a = -4
• b = 1.000
• c = -12.000

Como o coeficiente a é negativo (-4), a parábola tem concavidade voltada para baixo, garantindo a existência de um ponto de máximo.

Análise Matemática

1. Encontrar o valor de q no vértice (q_v):
   O ponto de máximo ocorre no vértice da parábola. A fórmula para a abscissa do vértice é -\frac{b}{2a}.

Verificamos se este valor está no intervalo permitido ($0 \leq q \leq 180$). Como $125$ está dentro deste intervalo, ele é válido.

1. Calcular o Lucro Máximo (L_{max}):
   Substituímos q = 125 na função original para encontrar o lucro máximo.

Calculando os termos:

• $125^2 = 15.625$
• -4 \times 15.625 = -62.500
• $1.000 \times 125 = 125.000$

Somando tudo:
L(125) = -62.500 + 125.000 - 12.000
L(125) = 62.500 - 12.000
L(125) = 50.500

Portanto, o valor máximo de lucro obtido é de R$ 50.500,00, correspondente à Alternativa E.