O número de bilhões de indivíduos de determinada bactéria poluente está decaindo em função do tempo t (a partir de t=0), em um lago por intermédio da função Q(t) = 70e⁻¹.⁵t + 2,5e⁻⁰,⁰⁷⁵t. Aplique o método de Newton com uma tolerância ε ≤ 10⁻⁴ e o menor número possível de iterações para estimar o tempo necessário que a quantidade de bactérias seja reduzida para 5 bilhões de indivíduos. Assinale a alternativa correta.

Alternativa B

Análise da Questão

O objetivo é encontrar o tempo t em que a quantidade de bactérias Q(t) se reduz a 5 bilhões, utilizando o Método de Newton-Raphson com tolerância \epsilon \le 10^{-4}.

1. Formulação do Problema
Precisamos resolver a equação Q(t) = 5. Definimos a função f(t) cujas raízes queremos encontrar:
f(t) = 70e^{-1.5t} + 2.5e^{-0.075t} - 5 = 0

Para aplicar o método de Newton, precisamos também da derivada f'(t):
f'(t) = 70(-1.5)e^{-1.5t} + 2.5(-0.075)e^{-0.075t}
f'(t) = -105e^{-1.5t} - 0.1875e^{-0.075t}

A fórmula de iteração é:
t_{n+1} = t_n - \frac{f(t_n)}{f'(t_n)}

2. Escolha do Chute Inicial (t_0)
Analisando os termos:

• Em t=0, Q(0) = 70 + 2.5 = 72.5.
• O termo $70e^{-1.5t}$ decai muito rápido.
• Para t=2, $70e^{-3} \approx 3.5$ e $2.5e^{-0.15} \approx 2.15$. Soma \approx 5.65.
  Como $5.65$ está próximo de 5, um chute inicial razoável é t_0 = 2.

3. Execução das Iterações

• Iteração 1:
• t_0 = 2
• f(2) \approx 0.63686
• f'(2) \approx -5.3890
• t_1 = 2 - \frac{0.63686}{-5.3890} \approx \mathbf{2.118178}
  (Nota: Este valor corresponde à Alternativa C. É uma armadilha comum parar nesta etapa).
• Erro estimado: |2.118178 - 2| = 0.118 > 10^{-4}. Deve continuar.
• Iteração 2:
• t_1 = 2.118178
• f(t_1) \approx 0.05333
• f'(t_1) \approx -4.5406
• t_2 = 2.118178 - \frac{0.05333}{-4.5406} \approx \mathbf{2.129924}
• Erro estimado: |2.129924 - 2.118178| \approx 0.0117 > 10^{-4}. Deve continuar.
• Iteração 3:
• t_2 = 2.129924
• f(t_2) \approx -0.00168
• f'(t_2) \approx -4.4597
• t_3 = 2.129924 - \frac{-0.00168}{-4.4597} \approx \mathbf{2.129548}
• Erro estimado: |2.129548 - 2.129924| \approx 0.000376 > 10^{-4}. Deve continuar.
• Iteração 4:
• t_3 = 2.129548
• Calculando novamente, a correção será menor que $10^{-4}$.
• t_4 \approx \mathbf{2.129579}
• Erro estimado: |t_4 - t_3| < 10^{-4}. Critério de parada atingido.

4. Conclusão
O valor convergido satisfaz a tolerância exigida e coincide com a Alternativa B. A Alternativa C representa o resultado da primeira iteração, antes da precisão ser alcançada.

Alternativa B.