O peso de um astronauta pode ser monitorado por meio da expressão W = 100 * (5200/(5200+x))^2, onde W é o peso (kg) e x é a distância até o nível do mar (km). Determine o valor da variação do peso com o tempo, em kg/s, para uma velocidade de 1,2 km/s e altura de 2000 km.

Alternativa A

Para resolver esta questão, utilizaremos o conceito de Taxas Relacionadas (ou taxas de variação) no cálculo diferencial. O problema pede a variação do peso em relação ao tempo (\frac{dW}{dt}), mas a fórmula do peso depende da altura (x).

Análise

O raciocínio segue três etapas principais:

1. Aplicação da Regra da Cadeia:
   Como queremos saber como o peso muda com o tempo, usamos a regra da cadeia:
   \frac{dW}{dt} = \frac{dW}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}
   Onde:

• \frac{dW}{dx} é a taxa de variação do peso em relação à altura.
• \frac{dx}{dt} é a velocidade de subida (dada como $1,2 \text{ km/s}$).

1. Derivação da Função:
   A função dada é W(x) = 100 \left( \frac{5200}{5200+x} \right)^2.
   Para derivar, reescrevemos como uma função composta y = 100 \cdot u^2, onde u = \frac{5200}{5200+x}.

A derivada em relação a x resulta em:
\frac{dW}{dx} = 200 \cdot \left( \frac{5200}{5200+x} \right) \cdot \left( \frac{-5200}{(5200+x)^2} \right)
Simplificando:
\frac{dW}{dx} = \frac{-200 \cdot 5200^2}{(5200+x)^3}

1. Substituição dos Valores:
   Substituímos x = 2000 e \frac{dx}{dt} = 1,2 na equação:
   \frac{dW}{dt} = \left[ \frac{-200 \cdot 5200^2}{(5200+2000)^3} \right] \cdot 1,2
   \frac{dW}{dt} = \frac{-240 \cdot 27.040.000}{(7200)^3}
   \frac{dW}{dt} \approx \frac{-6.489.600.000}{373.248.000.000} \approx -0,01738

Conclusão

O valor encontrado é aproximadamente -0,017. O sinal negativo indica que o peso está diminuindo, o que faz sentido fisicamente, pois quanto maior a altitude, menor a força da gravidade.

Portanto, a alternativa correta é a A.