O sistema massa-mola é um excelente exemplo físico para aplicação de métodos de resolução de EDO de segunda ordem. Suponha que se tenha uma mola presa ao teto de uma sala e uma bola de massa “m” presa à mola. Para esse caso, a equação diferencial obtida é: my''(t) + γy'(t) + ky(t) = Fext(t) Com m = 1, γ = -3 e k = 2 e Fext(t) = t Avalie as afirmações abaixo:

Alternativa: Todas as afirmativas (I, II e III)

O problema apresentado envolve a resolução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes, modelando um sistema massa-mola amortecido e forçado.

Desenvolvimento do Problema

Primeiramente, substituímos os valores dados no modelo geral para obter a equação específica do caso:

• Parâmetros: m = 1, \gamma = -3, k = 2, F_{ext}(t) = t.
• Substituindo na equação my'' + \gamma y' + ky = F_{ext}:
  y'' - 3y' + 2y = t

1. Solução Homogênea (Afirmação I)

Para encontrar a solução homogênea (y_h), resolvemos a equação característica associada:
r^2 - 3r + 2 = 0
Calculando as raízes pelo método de Bhaskara ou fatoração:
(r - 1)(r - 2) = 0 \Rightarrow r_1 = 1, \quad r_2 = 2
A forma geral da solução é y_h(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}.
Portanto:
y_h(t) = c_1 e^t + c_2 e^{2t}
Isso confirma que a Afirmação I está correta.

2. Solução Não-Homogênea (Afirmação II)

Para o termo não-homogêneo (t), usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de grau 1, assumimos:
y_p(t) = At + B
Calculamos as derivadas:
y_p'(t) = A, \quad y_p''(t) = 0
Substituímos na EDO original (y'' - 3y' + 2y = t):
0 - 3(A) + 2(At + B) = t
2At + (2B - 3A) = 1t + 0
Igualando os coeficientes:

• Coeficiente de t: $2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$
• Termo constante: $2B - 3A = 0 \Rightarrow 2B = \frac{3}{2} \Rightarrow B = \frac{3}{4}$
  Logo:
  y_p(t) = \frac{1}{2}t + \frac{3}{4}
  Isso confirma que a Afirmação II está correta.

3. Solução Geral com Condições Iniciais (Afirmação III)

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = c_1 e^t + c_2 e^{2t} + \frac{1}{2}t + \frac{3}{4}
Aplicamos as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0:

1. Condição y(0) = 0:
   c_1 + c_2 + \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow c_1 + c_2 = -\frac{3}{4}
2. Derivada $y'(t) = c_1 e^t + 2c_2 e^{2t} + \frac{1}{2}$
   Condição y'(0) = 0:
   c_1 + 2c_2 + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow c_1 + 2c_2 = -\frac{1}{2}

Resolvendo o sistema:

• Subtraindo a primeira equação da segunda: (c_1 + 2c_2) - (c_1 + c_2) = -\frac{1}{2} - (-\frac{3}{4})
• c_2 = -\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
• Substituindo em c_1 + c_2 = -\frac{3}{4}: c_1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} \Rightarrow c_1 = -1

Substituindo os valores de c_1 e c_2 na solução geral:
y(t) = -e^t + \frac{1}{4}e^{2t} + \frac{1}{2}t + \frac{3}{4}
Isso confirma que a Afirmação III está correta.

Análise das Afirmações

Conclusão

Todos os passos matemáticos foram verificados rigorosamente. A modelagem física, a resolução da equação diferencial e a aplicação das condições iniciais apontam para a validade total das proposições apresentadas no enunciado. Portanto, a resposta correta engloba as três afirmações.