O vetor gradiente nos informa a direção em que a função cresce mais rapidamente e a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade ρ(x,y) medida em kg/m², em todos os pontos do plano xy dada por ρ(x,y) = 5x² – 2xy, assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto P(1,2).

Alternativa A

A questão aborda conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente o cálculo do gradiente de uma função escalar e sua interpretação física/geométrica.

Análise Detalhada

Para resolver este problema, precisamos seguir três etapas principais: calcular o vetor gradiente da função dada, avaliar esse vetor no ponto específico indicado e, finalmente, calcular a norma (módulo) desse vetor.

1. Cálculo do Vetor Gradiente (\nabla \rho)

O vetor gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é definido pelo vetor formado pelas suas derivadas parciais:
\nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

No nosso caso, a função é a densidade \rho(x,y) = 5x^2 - 2xy. Vamos calcular as derivadas parciais:

• Derivada em relação a x:
  \frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5x^2 - 2xy) = 10x - 2y
  (Note que y é tratado como constante)
• Derivada em relação a y:
  \frac{\partial \rho}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^2 - 2xy) = -2x
  (Note que x é tratado como constante)

Portanto, o vetor gradiente geral é:
\nabla \rho(x,y) = \langle 10x - 2y, -2x \rangle

2. Avaliação no Ponto P(1,2)

Substituímos agora os valores x = 1 e y = 2 nas expressões obtidas acima:

• Componente x: $10(1) - 2(2) = 10 - 4 = 6$
• Componente y: -2(1) = -2

Assim, o vetor gradiente no ponto P é:
\nabla \rho(1,2) = \langle 6, -2 \rangle

3. Cálculo da Taxa Máxima de Aumento (Norma do Vetor)

O enunciado define que a taxa máxima de aumento é a norma do vetor gradiente. A norma de um vetor \vec{v} = \langle a, b \rangle é calculada por \|\vec{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2}.

Aplicando aos nossos valores:
\|\nabla \rho(1,2)\| = \sqrt{6^2 + (-2)^2}
\|\nabla \rho(1,2)\| = \sqrt{36 + 4}
\|\nabla \rho(1,2)\| = \sqrt{40}

Calculando a raiz quadrada aproximada:
\sqrt{40} \approx 6,324...

Arredondando para uma casa decimal, obtemos $6,3$. A unidade é a mesma da função original (kg/m^2).

Conclusão

Comparando o resultado encontrado ($6,3$) com as alternativas apresentadas, identificamos que a opção correta é a A.