Obtenha a Série de Fourier da função f(t) = t com -π < t < π. Seu período fundamental é P = 2π.

Alternativa D - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \text{sen}(nt)

Introdução

A função f(t) = t com -\pi < t < \pi é uma função ímpar, o que simplifica a série de Fourier, pois os coeficientes a_0 e a_n são nulos.

Desenvolvimento

Para uma função periódica com período P = 2\pi, a série de Fourier é dada por:
f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text{sen}(n\omega_0 t)
onde \omega_0 = \frac{2\pi}{P} = 1, e b_n = \frac{2}{P} \int_{-P/2}^{P/2} f(t) \text{sen}(n\omega_0 t) dt.

Como f(t) é ímpar, o intervalo de integração pode ser simplificado para [0, \pi], e b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} t \text{sen}(nt) dt.

Análise

• Integração por partes: Usando u = t e dv = \text{sen}(nt) dt, temos:
  \int t \text{sen}(nt) dt = -\frac{t \cos(nt)}{n} + \frac{\text{sen}(nt)}{n^2}
• Avaliação no intervalo $[0, \pi]$:
  \left[ -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} + \frac{\text{sen}(n\pi)}{n^2} \right] - \left[ 0 + 0 \right] = -\frac{\pi (-1)^n}{n}
• Cálculo de $b_n$:
  b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi (-1)^{n+1}}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}

Conclusão

A série de Fourier de f(t) = t é \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \text{sen}(nt), correspondendo à alternativa D.