Obtenha a transformada de Laplace da função g(t) = \frac{sin(2t)}{t}

Alternativa D - \frac{\pi}{2} - \text{arctg}\left(\frac{s}{2}\right)

Introdução à Propriedade

Para encontrar a transformada de Laplace de uma função dividida por t, utilizamos a **propriedade da divisão por t$**. Esta propriedade estabelece que, se conhecemos a transformada de Laplace de $f(t), chamada de F(s), então:

Isso significa que devemos integrar a transformada conhecida no intervalo de s até o infinito.

Desenvolvimento do Cálculo

1. Identificar a função base
Na questão, temos g(t) = \frac{\sin(2t)}{t}.
Portanto, nossa função base é f(t) = \sin(2t).

2. Encontrar a transformada de $f(t)$
A tabela padrão de transformadas de Laplace nos diz que:
\mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^2 + a^2}
Como nosso a = 2:
F(s) = \frac{2}{s^2 + 4}

3. Aplicar a integral da propriedade
Agora substituímos F(s) na fórmula da integral:
G(s) = \int_s^\infty \frac{2}{u^2 + 4} \, du

4. Resolver a Integral
Esta é uma integral clássica que resulta na função arco-tangente (\arctan ou \text{arctg}):
\int \frac{a}{x^2 + a^2} dx = \arctan\left(\frac{x}{a}\right)
Aplicando os limites de integração (s até \infty):
G(s) = \left[ \arctan\left(\frac{u}{2}\right) \right]_s^\infty

Calculamos o valor superior e inferior:

• No limite superior (u \to \infty): \arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}
• No limite inferior (u = s): \arctan\left(\frac{s}{2}\right)

Subtraindo:
G(s) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{s}{2}\right)

Análise das Alternativas

Conclusão

A transformação de Laplace de g(t) = \frac{\sin(2t)}{t} resulta em \frac{\pi}{2} - \text{arctg}\left(\frac{s}{2}\right). Portanto, a alternativa correta é a D.