Obtenha a transformada de laplace de f(t) = δ(t) + 2u(t) - 3e⁻²ᵗ, t ≥ 0.

Alternativa D

Para resolver esta questão, aplicamos as propriedades da Transformada de Laplace, especificamente a propriedade da linearidade. Isso significa que podemos transformar cada termo da função separadamente e depois somar os resultados.

A função dada é f(t) = \delta(t) + 2u(t) - 3e^{-2t}. Vamos analisar cada componente:

• $\delta(t)$: É a função Delta de Dirac. Sua transformada é sempre igual a 1.
  \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1
• **u(t)$**: É a função degrau unitário. Sua transformada padrão é $1/s. Como há um coeficiente 2:
  \mathcal{L}\{2u(t)\} = 2 \cdot \frac{1}{s} = \frac{2}{s}
• **e^{-2t}$**: Para funções exponenciais da forma $e^{at}, a transformada é \frac{1}{s-a}. Aqui, a = -2, logo s-a = s+2. O coeficiente é -3:
  \mathcal{L}\{-3e^{-2t}\} = -3 \cdot \frac{1}{s+2} = \frac{-3}{s+2}

Combinando todos os termos, temos a expressão inicial:
F(s) = 1 + \frac{2}{s} - \frac{3}{s+2}

Para encontrar a resposta correta entre as opções, precisamos simplificar essa soma em uma única fração racional. O denominador comum será s(s+2).

Análise dos Passos

• Passo 1: Encontrar o denominador comum
  Multiplicamos cada termo para ter o denominador s(s+2):
  F(s) = \frac{1 \cdot s(s+2)}{s(s+2)} + \frac{2 \cdot (s+2)}{s(s+2)} - \frac{3 \cdot s}{s(s+2)}
• Passo 2: Expandir os numeradores
• Primeiro termo: s(s+2) = s^2 + 2s
• Segundo termo: $2(s+2) = 2s + 4$
• Terceiro termo: -3s
• Passo 3: Somar os numeradores
  Juntamos tudo no topo da fração:
  \text{Numerador} = (s^2 + 2s) + (2s + 4) - 3s
  Agrupamos os termos semelhantes (s^2, s, constante):
  \text{Numerador} = s^2 + (2s + 2s - 3s) + 4
  \text{Numerador} = s^2 + s + 4
• Passo 4: Montar a fração final
  Colocamos o numerador calculado sobre o denominador comum:
  F(s) = \frac{s^2 + s + 4}{s(s+2)}

Comparando este resultado com as alternativas apresentadas na imagem, verificamos que ele corresponde exatamente à opção D.

Conclusão
A alternativa correta é a D, pois representa a forma unificada da transformada de Laplace da função fornecida após a combinação algébrica das parcelas.