Obtenha as funções de transferência θ₂ (s)/T(s) para o sistema mecânico de rotação a seguir.

Alternativa B

Para resolver esta questão, devemos aplicar os princípios da dinâmica de sistemas rotacionais e utilizar ferramentas algébricas, como a Transformada de Laplace e a Regra de Cramer, para encontrar a função de transferência desejada.

Análise do Sistema

O diagrama apresenta um sistema mecânico rotacional com dois graus de liberdade:

1. Inércia J_1: Localizada à esquerda, submetida ao torque de entrada T(t).
2. Inércia J_2: Localizada à direita, cuja posição angular \theta_2(t) é a saída do sistema.
3. Acoplamento: Entre as duas inércias, existem uma mola torsional (K) e um amortecedor viscoso (D) conectados em paralelo.

As hachuras nas extremidades indicam suportes fixos (ground), mas como não há elementos elásticos ou dissipativos explicitados conectando as inércias diretamente às paredes, consideramos o modelo padrão onde as interações ocorrem primariamente através dos elementos K e D entre os discos.

Desenvolvimento Matemático

Aplicando a Segunda Lei de Newton para a rotação (\sum \tau = J \ddot{\theta}) em cada disco, obtemos as equações diferenciais de movimento:

• Para o disco 1 (J_1):
  J_1 \ddot{\theta}_1 + D(\dot{\theta}_1 - \dot{\theta}_2) + K(\theta_1 - \theta_2) = T(t)
• Para o disco 2 (J_2):
  J_2 \ddot{\theta}_2 + D(\dot{\theta}_2 - \dot{\theta}_1) + K(\theta_2 - \theta_1) = 0
  (Nota: Não há torque externo aplicado diretamente em J_2)

Transformando essas equações para o domínio de Laplace (considerando condições iniciais nulas):

1. (J_1 s^2 + Ds + K)\theta_1(s) - (Ds + K)\theta_2(s) = T(s)
2. -(Ds + K)\theta_1(s) + (J_2 s^2 + Ds + K)\theta_2(s) = 0

Podemos escrever isso na forma matricial A\mathbf{x} = \mathbf{b}:

Aplicação da Regra de Cramer

Para encontrar a função de transferência \frac{\theta_2(s)}{T(s)}, utilizamos a Regra de Cramer. Seja \Delta o determinante da matriz de coeficientes (denominador comum das respostas do sistema):

O numerador para \theta_2(s) é obtido substituindo a segunda coluna da matriz pelo vetor de entradas [T(s), 0]^T:

Calculando o determinante:
\Delta_2 = [(J_1 s^2 + Ds + K) \cdot 0] - [T(s) \cdot -(Ds + K)]
\Delta_2 = T(s)(Ds + K)

Portanto, a função de transferência é:
\frac{\theta_2(s)}{T(s)} = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{Ds + K}{\Delta}

Conclusão

O numerador da função de transferência é formado pelos elementos de impedância do acoplamento entre as massas (Ds + K), que representam a força transmitida através da mola e do amortecedor para mover a segunda massa.

Isso corresponde exatamente à Alternativa B.