Obtenha o coeficiente bₙ da Série de Fourier da função Onda Quadrada descrita abaixo: f(x) = {−1, −1 < x ≤ 0 1, 0 < x ≤ 1 cujo período fundamental é f(x) = f(x + 2), portanto L = 1.

Alternativa A - \frac{2}{n\pi}(1 - (-1)^n)

Introdução

A questão solicita calcular o coeficiente b_n da série de Fourier de uma função onda quadrada, usando a fórmula fornecida.

Desenvolvimento

A função f(x) é definida como:
f(x) = \begin{cases} -1 & \text{se } -1 < x \leq 0, \\ 1 & \text{se } 0 < x \leq 1, \end{cases}
com período fundamental T = 2 (logo L = 1).

O coeficiente b_n da série de Fourier é dado por:
b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx

Análise

1. Divisão do integral: Como f(x) tem valores diferentes em [-1, 0] e [0, 1], dividimos o integral em duas partes:

• \int_{-1}^{0} (-1) \sin(n\pi x) dx
• \int_{0}^{1} 1 \cdot \sin(n\pi x) dx

1. Cálculo das integrais:

• Para \int_{-1}^{0} (-1) \sin(n\pi x) dx:
  O antiderivado de -\sin(n\pi x) é \frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x). Avaliando de -1 a 0:
  \frac{1}{n\pi} \left[ \cos(0) - \cos(-n\pi) \right] = \frac{1}{n\pi} \left[ 1 - (-1)^n \right]
• Para \int_{0}^{1} \sin(n\pi x) dx:
  O antiderivado de \sin(n\pi x) é -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x). Avaliando de 0 a 1:
  -\frac{1}{n\pi} \left[ \cos(n\pi) - \cos(0) \right] = \frac{1}{n\pi} \left[ 1 - (-1)^n \right]

1. Soma das integrais:
   Adicionando as duas partes:
   \int_{-1}^{1} f(x) \sin(n\pi x) dx = \frac{1}{n\pi} \left[ 1 - (-1)^n \right] + \frac{1}{n\pi} \left[ 1 - (-1)^n \right] = \frac{2}{n\pi} \left[ 1 - (-1)^n \right]
2. Resultado final:
   Como L = 1, b_n = \frac{2}{n\pi} \left[ 1 - (-1)^n \right].

Conclusão

O coeficiente b_n é dado pela Alternativa A.