Obtenha por meio de 3 iterações do método de Newton-Raphson com k iniciando em 0 uma aproximação para a raiz da função f(x)=x³-x-1 considerando o intervalo [1, 2].

Alternativa A

O método de Newton-Raphson é um algoritmo numérico utilizado para encontrar aproximações das raízes de uma função real. A fórmula iterativa utilizada é dada por:

Para resolver esta questão, devemos seguir os seguintes passos lógicos:

Definição dos Parâmetros

1. Função: f(x) = x^3 - x - 1
2. Derivada: f'(x) = 3x^2 - 1
3. Intervalo: [1, 2]
4. Ponto Inicial (x_0): Embora o enunciado mencione "k iniciando em 0" (referindo-se ao índice da iteração), não explicita o valor de x_0. No entanto, analisando as opções de resposta, a convergência rápida observada sugere que o chute inicial utilizado foi o ponto médio do intervalo, x_0 = 1.5.

Realização das 3 Iterações

Utilizando a fórmula e o ponto inicial x_0 = 1.5:

• Iteração 1 (n=0):
• f(1.5) = 1.5^3 - 1.5 - 1 = 0.875
• f'(1.5) = 3(1.5)^2 - 1 = 5.75
• x_1 = 1.5 - \frac{0.875}{5.75} \approx 1.347826
• Iteração 2 (n=1):
• f(1.347826) \approx 0.10128
• f'(1.347826) \approx 4.44977
• x_2 = 1.347826 - \frac{0.10128}{4.44977} \approx 1.325066
• Iteração 3 (n=2):
• f(1.325066) \approx 0.00199
• f'(1.325066) \approx 4.25036
• x_3 = 1.325066 - \frac{0.00199}{4.25036} \approx 1.324718

Análise das Alternativas

Comparando o resultado final (x_3 \approx 1.324718) com as opções fornecidas:

A Alternativa A apresenta o valor calculado com alta precisão, confirmando que o método foi aplicado corretamente a partir do ponto médio do intervalo.

Conclusão

Após três iterações do método de Newton-Raphson, a aproximação da raiz é 1,324718174, correspondendo à Alternativa A.