Os valores dos parâmetros a e b que tornam contínua a função definida por f(x) = { 0, x < 0 ax + b, 0 ≤ x ≤ 4 √(x + 77) − 9, x > 4 }

Alternativa 1 - a = 1/72 e b = 0

Para que uma função definida por partes seja contínua em todo o seu domínio, ela deve ser contínua nos pontos onde as definições mudam (os chamados "pontos de descontinuidade aparente"). Neste caso, os pontos críticos são x = 0 e x = 4.

Análise Matemática

A condição de continuidade exige que o limite à esquerda seja igual ao limite à direita e ao valor da função no ponto.

1. Continuidade em x = 0

Analisamos o encontro entre o primeiro trecho (x < 0) e o segundo trecho ($0 \leq x \leq 4$).

• Limite pela esquerda: Para x < 0, f(x) = 0. Logo, \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0.
• Limite pela direita: Para $0 \leq x \leq 4$, f(x) = ax + b. Logo, \lim_{x \to 0^+} f(x) = a(0) + b = b.

Igualando os limites para garantir continuidade:
0 = b
Portanto, $b = 0$.

2. Continuidade em x = 4

Analisamos o encontro entre o segundo trecho ($0 \leq x \leq 4$) e o terceiro trecho (x > 4).

• Limite pela esquerda: Com b=0, a função é ax.
  \lim_{x \to 4^-} f(x) = a(4) = 4a
• Limite pela direita: Para x > 4, temos a fração com raiz quadrada. Ao substituir x=4, obtemos a indeterminação \frac{0}{0}. Precisamos calcular o limite usando racionalização do numerador.
  \lim_{x \to 4^+} \frac{\sqrt{x+77}-9}{x-4}

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado (\sqrt{x+77}+9):
\lim_{x \to 4^+} \frac{(\sqrt{x+77}-9)(\sqrt{x+77}+9)}{(x-4)(\sqrt{x+77}+9)}

Aplicando a diferença de quadrados (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 no numerador:
\lim_{x \to 4^+} \frac{(x+77) - 81}{(x-4)(\sqrt{x+77}+9)} = \lim_{x \to 4^+} \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+77}+9)}

Cancelamos o termo (x-4):
\lim_{x \to 4^+} \frac{1}{\sqrt{x+77}+9} = \frac{1}{\sqrt{81}+9} = \frac{1}{9+9} = \frac{1}{18}

3. Cálculo final de a

Igualamos o limite da esquerda ao limite calculado da direita:
4a = \frac{1}{18}
Dividindo ambos os lados por 4:
a = \frac{1}{18 \times 4} = \frac{1}{72}

Resumo dos Valores

Assim, os valores que tornam a função contínua são a = 1/72 e b = 0.