Para certas EDOs a solução particular não é simples, nesses casos surge um parâmetro muito importante, o Wronskiano (W), que é essencial ao método de variação de parâmetros. Avalie as afirmações a seguir: I – A equação y''(t) + y'(t) = 0 possui Wronskiano W = -e⁻ᵗ II – A equação y''(t) + y(t) = 0 possui Wronskiano W = cos²t - sen²t III – A equação y''(t) + 3y'(t) - 4y(t) = 0 possui Wronskiano W = -5e⁻³t IV – A equação y''(t) - y(t) = 0 possui Wronskiano W = e⁻ᵗ . eᵗ É correto o que se afirma em

Alternativa: Afirmações I e III

Esta questão aborda o cálculo do Determinante de Wronskiano, uma ferramenta crucial para verificar a independência linear de soluções de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) homogêneas lineares.

Definição do Wronskiano

Para duas funções y_1(t) e y_2(t), o Wronskiano W é definido como o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas primeiras:

Se W \neq 0 em algum ponto, as soluções são linearmente independentes.

Análise das Afirmações

I – A equação y''(t) + y'(t) = 0

• Equação Característica: r^2 + r = 0 \Rightarrow r(r+1) = 0.
• Raízes: r_1 = 0 e r_2 = -1.
• Soluções Fundamentais: y_1 = e^{0t} = 1 e y_2 = e^{-t}.
• Derivadas: y_1' = 0 e y_2' = -e^{-t}.
• Cálculo de W:
  W = (1)(-e^{-t}) - (e^{-t})(0) = -e^{-t}
• Conclusão: A afirmação está CORRETA.

II – A equação y''(t) + y(t) = 0

• Equação Característica: r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm i.
• Soluções Fundamentais: y_1 = \cos t e y_2 = \sin t.
• Derivadas: y_1' = -\sin t e y_2' = \cos t.
• Cálculo de W:
  W = (\cos t)(\cos t) - (\sin t)(-\sin t) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1
• Conclusão: A afirmação diz W = \cos^2 t - \sin^2 t (que seria \cos 2t). Está INCORRETA.

III – A equação y''(t) + 3y'(t) - 4y(t) = 0

• Equação Característica: r^2 + 3r - 4 = 0 \Rightarrow (r+4)(r-1) = 0.
• Raízes: r_1 = 1 e r_2 = -4.
• Soluções Fundamentais: y_1 = e^t e y_2 = e^{-4t}.
• Derivadas: y_1' = e^t e y_2' = -4e^{-4t}.
• Cálculo de W:
  W = (e^t)(-4e^{-4t}) - (e^{-4t})(e^t) = -4e^{-3t} - e^{-3t} = -5e^{-3t}
• Conclusão: A afirmação está CORRETA.

IV – A equação y''(t) - y(t) = 0

• Equação Característica: r^2 - 1 = 0 \Rightarrow r = \pm 1.
• Soluções Fundamentais: y_1 = e^t e y_2 = e^{-t}.
• Derivadas: y_1' = e^t e y_2' = -e^{-t}.
• Cálculo de W:
  W = (e^t)(-e^{-t}) - (e^{-t})(e^t) = -1 - 1 = -2
• Conclusão: O resultado é uma constante negativa, não o produto indicado na alternativa. Está INCORRETA.

Resumo dos Resultados

Conclusão Final:
As únicas afirmações corretas são a I e a III. Portanto, a opção que contém essas assertivas é a resposta correta.