Para resolver esta questão, utilizaremos a Fórmula de Ganho de Mason, que é o método padrão para determinar a função de transferência de sistemas representados por gráficos de fluxo de sinais (diagramas de blocos).
A fórmula geral é:
H(z) = \frac{\sum P_k \Delta_k}{\Delta}
Onde:
- P_k: Ganho do $k$-ésimo caminho direto da entrada à saída.
- \Delta: Determinante do grafo ($1 - \sum \text{loops individuais} + \sum \text{loops que não se tocam} - \dots$).
- \Delta_k: Co-fator do k$-ésimo caminho (determinante do subgrafo que não toca no caminho $k).
Análise Detalhada
1. Identificação dos Loops (Realimentação)
Os loops são caminhos fechados que começam e terminam no mesmo nó. Observando o diagrama:
- Loop 1: Existe um laço formado pelo ganho a e um atraso z^{-1}.
- Ganho do loop: L_1 = a z^{-1}
- Loop 2: Existe um laço maior envolvendo o ganho b e dois atrasos z^{-1} (sequenciais).
- Ganho do loop: L_2 = b z^{-1} z^{-1} = b z^{-2}
Calculando o determinante \Delta:
\Delta = 1 - (L_1 + L_2) = 1 - (a z^{-1} + b z^{-2}) = 1 - a z^{-1} - b z^{-2}
Este resultado define o denominador da função de transferência. Isso elimina imediatamente as alternativas C, D e E, que possuem denominadores diferentes.
2. Identificação dos Caminhos Diretos (Feedforward)
São os caminhos que vão da entrada x[n] à saída y[n] sem repetir nós.
- Caminho 1 (Superior): Há uma linha direta conectando a entrada à saída com ganho unitário (implícito).
- Ganho P_1 = 1
- Caminho 2 (Via bloco c): O sinal passa pelo primeiro atraso z^{-1} e pelo ganho c antes de sair.
- Ganho P_2 = c z^{-1}
- (Nota: A posição do bloco c alinha-se com o primeiro estágio de atraso, indicando um atraso único).
Como os caminhos diretos não interagem complexamente com os loops no contexto simplificado desta questão (ou considerando que \Delta_k \approx 1 para estes caminhos diretos), somamos os ganhos dos caminhos no numerador:
\text{Numerador} = P_1 + P_2 = 1 + c z^{-1}
3. Construção da Função de Transferência
Juntando numerador e denominador:
H(z) = \frac{1 + c z^{-1}}{1 - a z^{-1} - b z^{-2}}
Comparando com as alternativas:
- Alternativa A: Corresponde exatamente à expressão encontrada.
- Alternativa B: Possui sinal negativo em c, o que não está presente no diagrama.
- Alternativa C: Possui sinais positivos no denominador (incorreto para realimentação positiva mostrada) e atraso duplo em c.
Conclusão
A função do sistema é dada pela razão entre a soma dos caminhos diretos e o determinante dos loops.
Alternativa A