Para os sinais g(t) e x(t) mostrados na Figura abaixo, determine a componente da forma de x(t) contida em g(t). Em outras palavras, determine o valor ótimo de c na aproximação g(t) ≈ cx(t), de modo que a energia do sinal de erro seja mínima. Qual é o valor da energia do resultante sinal de erro?

Introdução

O objetivo é encontrar o melhor valor de c que aproxima g(t) por cx(t), minimizando a energia do erro. Isso é um problema clássico de projeção em espaços de sinais.

Desenvolvimento

Passo 1: Definição do erro

O erro é e(t) = g(t) - c·x(t). A energia do erro é a integral do quadrado do erro:

E(c) = ∫[g(t) - c·x(t)]² dt

Passo 2: Minimização

Para minimizar E(c), derivamos em relação a c e igualamos a zero. Isso leva à fórmula:

c = (∫ g(t)·x(t) dt) / (∫ [x(t)]² dt)

Passo 3: Cálculos

• Energia de x(t): ∫₀¹ 1² dt = 1
• Produto interno g(t)·x(t): ∫₀¹ t·1 dt = [t²/2]₀¹ = 1/2
• c ótimo = (1/2) / 1 = 1/2

Passo 4: Energia do erro

Para t ∈ [0,1], e(t) = t - 1/2. A energia é:

E = ∫₀¹ (t - 1/2)² dt = ∫₀¹ (t² - t + 1/4) dt

Passo 5: Integração

• ∫ t² dt = t³/3 → 1/3
• ∫ t dt = t²/2 → 1/2
• ∫ 1/4 dt = t/4 → 1/4

E = 1/3 - 1/2 + 1/4 = (4/12 - 6/12 + 3/12) = 1/12

Análise

• c ótimo = 1/2
• Energia do erro = 1/12
• Interpretação: O valor de c representa a componente de x(t) presente em g(t). O erro é a parte de g(t) que não pode ser representada por x(t).

Conclusão

O valor ótimo de c é 1/2, e a energia do sinal de erro resultante é 1/12.