Alternativa C
A questão trata de um problema de análise combinatória que exige o cálculo do número total de senhas possíveis, considerando a seleção de caracteres e o posicionamento desses caracteres na sequência.
Para chegar ao resultado correto, devemos dividir o problema em duas etapas: primeiro, calcular quantas combinações de símbolos podemos formar; segundo, calcular de quantas formas esses símbolos podem ser organizados nas 4 posições disponíveis.
Análise Detalhada
1. Seleção dos Caracteres (Princípio Fundamental da Contagem)
Primeiro, determinamos quantas opções existem para cada tipo de caractere na senha:
- Algarismos: Existem 10 dígitos decimais (0, 1, 2, ..., 9). Como a senha possui dois algarismos e não há restrição sobre repetição, multiplicamos as opções:
10 \times 10 = 10^2 - Letras: O alfabeto padrão tem 26 letras. O enunciado especifica que "uma letra maiúscula difere da minúscula", o que duplica as opções disponíveis para cada letra.
- Total de letras = $26 \text{ (minúsculas)} + 26 \text{ (maiúsculas)} = 52$.
- Como a senha possui duas letras, multiplicamos as opções:
52 \times 52 = 52^2
2. Arranjo das Posições (Permutação com Repetição)
A senha tem 4 posições no total. Dentro dessas posições, temos 2 lugares reservados para algarismos e 2 lugares reservados para letras. A ordem importa (ex: AB12 é diferente de 12AB).
Para encontrar o número de maneiras de organizar esses tipos de caracteres, usamos a fórmula de permutação com elementos repetidos:
\frac{n!}{p! \cdot q!}
Onde:
- n = 4 (total de posições)
- p = 2 (quantidade de algarismos)
- q = 2 (quantidade de letras)
Substituindo na fórmula:
\frac{4!}{2! \cdot 2!}
3. Cálculo Final
Multiplicamos todas as partes independentes para obter o total absoluto de senhas:
\text{Total} = (\text{Opções de Algarismos}) \times (\text{Opções de Letras}) \times (\text{Arranjo das Posições})
\text{Total} = 10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2!2!}
Por que as outras alternativas estão incorretas?
| Alternativa | Erro Identificado |
|---|
| A | Usa $26^3$, o que não faz sentido pois são apenas 2 letras e 2 números. |
| B | Considera apenas a escolha dos símbolos ($10^2 \cdot 52^2$), mas esquece de calcular as diferentes ordens possíveis de colocá-los na senha. |
| D | Ignora a distinção entre maiúsculas e minúsculas, usando apenas 26 opções para as letras em vez de 52. |
| E | Coloca apenas um algarismo ($10^1$) na conta, sendo que a senha exige dois. |
Portanto, a única expressão que contempla corretamente a quantidade de símbolos, a sensibilidade a caixa (case-sensitive) e a permutação das posições é a da Alternativa C.