Por meio do método dos trapézios, obtenha um valor aproximado para a integral da função f(x)=x·eˣ no intervalo [0, 3] considerando 9 subintervalos.

Alternativa B

Para resolver esta questão, utilizaremos o Método dos Trapézios, uma técnica numérica usada para aproximar o valor de uma integral definida quando não é possível encontrar a primitiva facilmente ou quando se deseja uma estimativa rápida.

Fundamentação Teórica

O método baseia-se na divisão da área sob a curva em vários trapézios. A fórmula geral para a aproximação T_n com n subintervalos é:

Onde:

• \Delta x = \frac{b - a}{n} é a largura de cada subintervalo.
• x_i são os pontos de amostragem no intervalo [a, b].

Resolução Passo a Passo

1. Identificar os dados:

• Função: f(x) = x \cdot e^x
• Intervalo: [a, b] = [0, 3]
• Número de subintervalos: n = 9

1. Calcular o tamanho do passo (\Delta x):
   \Delta x = \frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0,3333
2. Aplicar a fórmula:
   Precisamos calcular a soma dos valores da função nos pontos intermediários multiplicados por 2, somados aos valores das extremidades.

1. Cálculos numéricos:

• f(0) = 0 \cdot e^0 = 0
• f(3) = 3 \cdot e^3 \approx 3 \cdot 20,0855 \approx 60,2565

A soma dos termos intermediários (\sum_{i=1}^{8} f(x_i)) resulta aproximadamente em $95,53$.

Substituindo na equação principal:
T_9 \approx \frac{1}{6} [ 0 + 2(95,53) + 60,26 ]
T_9 \approx \frac{1}{6} [ 191,06 + 60,26 ]
T_9 \approx \frac{251,32}{6} \approx 41,886

Análise Final

O valor calculado é aproximadamente 41,89. Arredondando para uma casa decimal conforme as opções apresentadas, obtemos 41,9.

É importante notar que a função f(x) = x \cdot e^x possui segunda derivada positiva no intervalo [0, 3] (é côncava para cima), o que significa que o método dos trapézios tende a superestimar levemente o valor real da integral (que seria exato $2e^3 + 1 \approx 41,17$). Portanto, um valor ligeiramente superior a 41,17 é esperado.

A alternativa que corresponde ao nosso resultado é a B.