Qual é a área da superfície do plano z = 2x + 3y sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1?

Question

Qual é a área da superfície do plano z = 2x + 3y sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1? A) 1 B) 4 C) √14 D) 14

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Alternativa C Para calcular a área da superfície definida por um gráfico $z = f(x, y)$ sobre uma região $D$, utilizamos a fórmula da área de superfície dada no enunciado. Passo 1: Calcular as derivadas parciais Primeiro, precisamos encontrar as taxas de variação da função $z = 2x + 3y$ em relação a $x$ e $y$: Derivada parcial em relação a $x$: $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 $$ Derivada parcial em relação a $y$: $$ \frac{\partial z}{\partial y} = 3 $$ Passo 2: Substituir na fórmula da área Substituímos essas derivadas na fórmula fornecida: $$ A(S) = \iint D \sqrt{1 + \left(2ight)^2 + \left(3ight)^2} \, dA $$ Simplificando a expressão dentro da raiz quadrada: $$ A(S) = \iint D \sqrt{1 + 4 + 9} \, dA $$ $$ A(S) = \iint D \sqrt{14} \, dA $$ Passo 3: Avaliar a integral sobre o domínio O domínio $D$ é o retângulo definido por $0 \leq x \leq 1$ e $0 \leq y \leq 1$. Como $\sqrt{14}$ é uma constante, podemos tirá la para fora da integral: $$ A(S) = \sqrt{14} 	imes \iint D dA $$ A integral $\iint D dA$ representa simplesmente a área da região de integração no plano $xy$. Para um retângulo de lados 1 e 1: $$ 	ext{Área do retângulo} = 1 	imes 1 = 1 $$ Portanto: $$ A(S) = \sqrt{14} 	imes 1 = \sqrt{14} $$ Conclusão O valor exato da área da superfície é $\sqrt{14}$, o que corresponde à Alternativa C .

Explicação passo a passo

Conclusão

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