Qual é o máximo sobressinal de um sistema que tem função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) = 36/(s² + 2s + 36) para uma entrada do tipo degrau?

Alternativa C

O problema solicita o cálculo do máximo sobressinal de um sistema de controle de segunda ordem submetido a uma entrada degrau. Para encontrar essa resposta, devemos primeiro determinar o coeficiente de amortecimento (\zeta) do sistema analisando sua função de transferência.

A função de transferência fornecida é:
\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{36}{s^2 + 2s + 36}

Esta deve ser comparada com a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}

Identificando os parâmetros através da comparação dos denominadores:

• O termo independente é \omega_n^2 = 36, logo \omega_n = 6.
• O termo linear é $2\zeta\omega_n = 2$.

Calculando o coeficiente de amortecimento:

• Substituindo \omega_n: $2\zeta(6) = 2$
• Simplificando: $12\zeta = 2$
• Resultado: \zeta = \frac{1}{6} \approx 0,1667

Calculo do Sobressinal

O sobressinal percentual (M_p) é dado pela seguinte equação:
M_p = e^{\left(\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)} \times 100\%

Passo a passo da substituição:

• Denominador da raiz: \sqrt{1 - (1/6)^2} = \sqrt{35/36} = \frac{\sqrt{35}}{6}
• Expoente completo: \frac{-\pi(1/6)}{\sqrt{35}/6} = \frac{-\pi}{\sqrt{35}}
• Valor numérico do expoente: \frac{-3,1416}{5,916} \approx -0,531
• Potência de Euler: e^{-0,531} \approx 0,588

Convertendo para porcentagem:
0,588 \times 100\% = 58,8\%

O resultado obtido é muito próximo de 59%.

Verificação das Opções

Portanto, a alternativa correta é a C.