Qual o resultado obtido na integração ∫∫ 1 y² dx dy ?

Alternativa B - 17/12

Para resolver esta questão de Integração Dupla, precisamos calcular a integral iterada passo a passo, começando pela integral interna.

Passo a Passo da Resolução

A integral dada é:
I = \int_{1}^{2} \int_{y^2}^{y^3} dx \, dy

1. Resolver a integral interna (em relação a x):
Como não há funções variáveis de x dentro da integral (o integrando é implicitamente $1$), a integral de dx é simplesmente x. Aplicamos os limites de y^2 até y^3:
\int_{y^2}^{y^3} dx = [x]_{y^2}^{y^3} = y^3 - y^2

2. Resolver a integral externa (em relação a y):
Agora substituímos o resultado anterior na integral restante, com limites de $1$ a $2$:
I = \int_{1}^{2} (y^3 - y^2) \, dy

Calculamos a antiderivada termo a termo usando a regra da potência (\int y^n dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}):
\int (y^3 - y^2) \, dy = \frac{y^4}{4} - \frac{y^3}{3}

3. Aplicar os limites de integração:
Substituímos y=2 e y=1 na expressão encontrada:

• Para y = 2:
  \frac{2^4}{4} - \frac{2^3}{3} = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
• Para y = 1:
  \frac{1^4}{4} - \frac{1^3}{3} = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12}

4. Calcular o valor final:
Subtraímos o valor do limite inferior pelo valor do limite superior:
I = \frac{4}{3} - \left(-\frac{1}{12}\right) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12}

Convertendo \frac{4}{3} para uma fração com denominador 12:
\frac{4 \times 4}{3 \times 4} = \frac{16}{12}

Somando as frações:
\frac{16}{12} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}

Portanto, o resultado correto é 17/12, correspondente à Alternativa B.