Qual resultado é obtido da integração dupla ∬ e^(x+y) dx dy com os limites de integração de 1 a 0 para x e de 0 a 1 para y? 3(e-1)

Análise da Questão

A questão solicita o resultado de uma integração dupla. Embora haja uma ambiguidade na notação dos diferenciais na imagem (dx \, dy versus os limites apresentados), é possível determinar a ordem correta de integração analisando os limites de variação.

Integral apresentada:
\int_{1}^{e^2} \int_{0}^{\frac{1}{x}} e^{xy} \, dx \, dy

Interpretação Matemática:

• O limite superior da integral interna é \frac{1}{x}. Isso indica que a variável dependente desse limite é x.
• Para que a integral exista, a integração interna deve ser feita em relação à variável que está presente no limite superior (neste caso, y ou a variável que varia de 0 a $1/x$).
• A notação padrão sugere que a integral externa vai de 1 a e^2 (variável independente, digamos x) e a interna de 0 a $1/x$ (variável dependente, digamos y).
• Portanto, a integral correta a ser calculada é:
  I = \int_{1}^{e^2} \left[ \int_{0}^{\frac{1}{x}} e^{xy} \, dy \right] dx

Passo a Passo da Resolução

1. Integração Interna (em relação a y)

Consideramos x como constante.
\int_{0}^{\frac{1}{x}} e^{xy} \, dy
A primitiva de e^{ky} é \frac{1}{k}e^{ky}. Aqui k=x.
= \left[ \frac{e^{xy}}{x} \right]_{y=0}^{y=\frac{1}{x}}
Substituindo os limites:
= \frac{e^{x(\frac{1}{x})}}{x} - \frac{e^{x(0)}}{x}
= \frac{e^{1}}{x} - \frac{e^{0}}{x}
= \frac{e}{x} - \frac{1}{x} = \frac{e - 1}{x}

2. Integração Externa (em relação a x)

Agora integramos o resultado anterior de 1 a e^2:
\int_{1}^{e^2} \frac{e - 1}{x} \, dx
O termo (e - 1) é constante e pode ser retirado da integral:
= (e - 1) \int_{1}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx
Sabemos que \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|:
= (e - 1) \Big[ \ln x \Big]_{1}^{e^2}
Calculando os logaritmos (\ln(e^2) = 2 e \ln(1) = 0):
= (e - 1) (2 - 0)
= 2(e - 1)

Conclusão

O resultado correto da integração é $2(e-1)$.

Comparando com a alternativa visível na imagem:

• Alternativa A: $3(e-1)$ (Incorreta)
• Resposta Esperada: $2(e-1)$

Alternativa [Correta não visível, valor é 2(e-1)]