Resolução de Questões de Cálculo
Introdução
Estas questões abordam conceitos fundamentais de derivadas, incluindo declividade de retas tangentes, regras de derivação, funções compostas, definição formal da derivada e aplicação em economia (custo marginal).
Questão 1 - Declividade da Reta Tangente
Alternativa C - 3/2
Resolução Passo a Passo
A função dada é:
f(x) = 2x + \frac{1}{\sqrt{x}}
Reescrevendo com expoentes negativos para facilitar a derivação:
f(x) = 2x + x^{-1/2}
Aplicando a regra da potência para encontrar a derivada:
f'(x) = 2 - \frac{1}{2}x^{-3/2} = 2 - \frac{1}{2x^{3/2}}
Avaliando no ponto x = 1:
f'(1) = 2 - \frac{1}{2(1)^{3/2}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
Conceito-Chave
A declividade da reta tangente em um ponto é igual ao valor da derivada da função nesse ponto. Isso representa a taxa de variação instantânea da função.
Questão 2 - Cálculo de Derivadas
| Função | Derivada | Regra Utilizada |
|---|
| a) f(p) = e^p | f'(p) = e^p | Derivada da exponencial |
| b) f(x) = 15x^{100} - 3x^{12} + 5x - 46 | f'(x) = 1500x^{99} - 36x^{11} + 5 | Potência linear |
| c) g(t) = 2t^6 - 7t^{-6} | g'(t) = 12t^5 + 42t^{-7} | Potência com negativo |
Detalhes Adicionais
Para as letras d, e, f, g, aplicam-se outras regras:
- d) Produto ou quociente (expressão parece incompleta no enunciado)
- e) Regra do produto: u'v + uv'
- f) Regra do quociente: \frac{u'v - uv'}{v^2}
- g) Regra do quociente com raiz quadrada
Questão 3 - Derivadas de Funções Compostas
a) g(x) = \ln(x^{-4} + x^4)
Usando a regra da cadeia para logaritmo natural:
g'(x) = \frac{-4x^{-5} + 4x^3}{x^{-4} + x^4}
b) y = \frac{(x^3+4)^5}{(1-2x^2)^3}
Usando regra do quociente + regra da cadeia:
y' = \frac{5(x^3+4)^4 \cdot 3x^2 \cdot (1-2x^2)^3 - (x^3+4)^5 \cdot 3(1-2x^2)^2 \cdot (-4x)}{(1-2x^2)^6}
c) Observação sobre Variáveis Mistas
Esta questão apresenta variáveis mistas (f(x) mas com y na expressão), o que requer verificação oficial do enunciado completo.
Questão 4 - Definição Formal da Derivada
Cálculo por Definição
Para f(x) = x^2 + x no ponto x = 1:
Definição:
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
Substituindo a = 1:
f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{[(1+h)^2 + (1+h)] - [1^2 + 1]}{h}
Desenvolvendo:
= \lim_{h \to 0} \frac{(1 + 2h + h^2 + 1 + h) - 2}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2
Resposta: f'(1) = 2
Por que usar a definição?
A definição formal estabelece o conceito fundamental de derivada como limite, essencial para entender o significado geométrico de taxa de variação instantânea.
Questão 5 - Custo Marginal
a) Função Custo Marginal
O custo marginal é a derivada primeira da função de custo:
C(i) = 0,0001i^3 - 0,08i^2 + 40i + 5000
C'(i) = 0,0003i^2 - 0,16i + 40
b) Valores do Custo Marginal
| Quantidade (i) | Custo Marginal C'(i) |
|---|
| 200 | $0,0003(200)^2 - 0,16(200) + 40 = 12 - 32 + 40 = 20$ |
| 300 | $0,0003(300)^2 - 0,16(300) + 40 = 27 - 48 + 40 = 19$ |
| 400 | $0,0003(400)^2 - 0,16(400) + 40 = 48 - 64 + 40 = 24$ |
| 600 | $0,0003(600)^2 - 0,16(600) + 40 = 108 - 96 + 40 = 52$ |
Interpretação Econômica
O custo marginal representa o custo adicional para produzir uma unidade extra. Note que ele diminui até certo ponto (mínimo em torno de i=267) e depois aumenta devido aos custos decrescentes de escala.
Conclusão
| Questão | Resposta Principal |
|---|
| 1 | 3/2 (Alternativa C) |
| 2 | Derivadas conforme tabela acima |
| 3 | Aplicar regra da cadeia/quociente |
| 4 | 2 (por definição) |
| 5 | CM = 0,0003i² - 0,16i + 40; valores calculados |
Dicas para provas: Memorize as derivadas básicas (potência, exponencial, logarítmica) e pratique a regra da cadeia, pois ela aparece frequentemente em questões de múltipla escolha.