Resolução das Questões de Cálculo
O contexto apresenta dois problemas de cálculo multivariável. O primeiro envolve a avaliação de uma integral dupla sobre uma região específica. O segundo trata da aplicação da Regra da Cadeia para taxas relacionadas. Abaixo, apresento a resolução passo a passo para cada item.
Análise da Questão 1
Esta questão solicita o esboço da região D e o cálculo da integral dupla \iint_D (42y^2 - 12x) dA.
- Definição da Região D:
A região é delimitada por $0 \le x \le 4$ e (x-2)^2 \le y \le 6.
Isso descreve uma área onde a variável y varia entre uma parábola y = (x-2)^2 e a linha horizontal y = 6. - Configuração da Integral:
Como os limites de y dependem de x, tratamos a região como do Tipo I. A ordem de integração será dy \, dx.
I = \int_{0}^{4} \int_{(x-2)^2}^{6} (42y^2 - 12x) \, dy \, dx - Cálculo da Integração Interna:
Integrando com respeito a y:
\int (42y^2 - 12x) \, dy = 14y^3 - 12xy
Aplicando os limites de y de (x-2)^2 até $6$:
\left[ 14(6)^3 - 12x(6) \right] - \left[ 14((x-2)^2)^3 - 12x((x-2)^2) \right]
= (3024 - 72x) - \left[ 14(x-2)^6 - 12x(x-2)^2 \right] - Cálculo da Integração Externa:
Agora integramos o resultado com respeito a x de $0$ a $4$.
\int_{0}^{4} \left[ 3024 - 72x - 14(x-2)^6 + 12x(x-2)^2 \right] dx
Calculando termo a termo:
- \int_{0}^{4} (3024 - 72x) dx = 11520
- \int_{0}^{4} -14(x-2)^6 dx = -512
- \int_{0}^{4} 12x(x-2)^2 dx = 128
Somando os resultados:
11520 - 512 + 128 = 11136
Resultado da Questão 1: O valor da integral é 11136.
Análise da Questão 2
Esta questão exige o uso da Regra da Cadeia para determinar a taxa de variação de uma função composta no tempo.
- Variáveis e Taxas Conhecidas:
Temos a produção W dependente de Temperatura T e Chuva R. Ambas variam com o tempo t. - Taxa de crescimento da temperatura: \frac{dT}{dt} = 0.15
- Taxa de decréscimo da chuva: \frac{dR}{dt} = -0.1 (negativo pois decresce)
- Sensibilidade à temperatura: \frac{\partial W}{\partial T} = -2
- Sensibilidade à chuva: \frac{\partial W}{\partial R} = 8
- Aplicação da Regra da Cadeia:
A fórmula para a derivada total de W em relação ao tempo é:
\frac{dW}{dt} = \frac{\partial W}{\partial T} \cdot \frac{dT}{dt} + \frac{\partial W}{\partial R} \cdot \frac{dR}{dt} - Substituição dos Valores:
Substituindo os dados fornecidos na equação:
\frac{dW}{dt} = (-2) \cdot (0.15) + (8) \cdot (-0.1)
\frac{dW}{dt} = -0.3 - 0.8
\frac{dW}{dt} = -1.1
Resultado da Questão 2: A taxa de variação corrente da produção de trigo é -1.1.
Conclusão
As duas questões abordam conceitos fundamentais do cálculo avançado. A primeira testou a habilidade de montar e resolver uma integral dupla iterada, exigindo atenção aos limites de integração. A segunda focou na interpretação física da derivada parcial combinada com a regra da cadeia para modelar mudanças reais.