Uma rede de lanchonete resolveu abrir o seu capital para angariar mais fundos para investir na abertura de mais filiais pelo país. A quantidade de afiliados no início da semana z é dado pela função Q(z) = 100(64+4z)^(2/3) (0 ≤ z ≤ 52). Determine a declividade da reta que tangencia a função Q. Com que celeridade o número de afiliados da rede de lanchonetes estava aumentando inicialmente (z = 0)? Com que celeridade o número de afiliados da rede estava aumentando no início da 40ª semana? Qual era o número de afiliados quando a rede foi aberta? E no início da 40ª semana? Questão 7. Calcule 𝑓n (derivadas sucessivas) das funções abaixo:

Question

Questão 6. Uma rede de lanchonete resolveu abrir o seu capital para angariar mais fundos para investir na abertura de mais filiais pelo país. A quantidade de afiliados no início da semana z é dado pela função Q(z) = 100(64+4z)^(2/3) (0 ≤ z ≤ 52). Determine a declividade da reta que tangencia a função Q. Com que celeridade o número de afiliados da rede de lanchonetes estava aumentando inicialmente (z = 0)? Com que celeridade o número de afiliados da rede estava aumentando no início da 40ª semana? Qual era o número de afiliados quando a rede foi aberta? E no início da 40ª semana?

Questão 7. Calcule 𝑓n (derivadas sucessivas) das funções abaixo:

𝑓 (𝑥) = 16𝑥² + 5𝑥³ + 87 − 278𝑥 + 𝑥 + 92𝑥
𝑓 (𝑥) = 12𝑥⁴ + 7𝑥³ − 32𝑥² + 1
𝑓 ( 𝑥 ) = 14𝑥³ − 88𝑥³ + 12𝑥³
𝑓 ( 𝑥 ) = 120𝑥² − 33𝑥⁴

Determine a declividade da reta que tangencia a função Q.
Com que celeridade o número de afiliados da rede de lanchonetes estava aumentando inicialmente (z = 0)?
Com que celeridade o número de afiliados da rede estava aumentando no início da 40ª semana?
Qual era o número de afiliados quando a rede foi aberta? E no início da 40ª semana? Questão 7. Calcule 𝑓n (derivadas sucessivas) das funções abaixo:
𝑓 (𝑥) = 16𝑥 2 + 5𝑥 3 + 87 − 278𝑥 + 𝑥 + 92𝑥
𝑓 (𝑥) = 12𝑥 4 + 7𝑥 3 − 32𝑥 2 + 1
𝑓 ( 𝑥 ) = 14𝑥 3 − 88𝑥 3 + 12𝑥 3
𝑓 ( 𝑥 ) = 120𝑥 2 − 33𝑥 4

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Resolução de Questões de Cálculo Derivadas Questão 6: Função de Afiliados de Rede de Lanchonetes A função dada é $Q(z) = 100(64+4z)^{2/3}$ onde $z$ representa semanas ($0 \leq z \leq 52$). Análise das Derivadas Para encontrar a declividade da reta tangente e as taxas de variação, precisamos calcular a derivada primeira $Q'(z)$. Aplicando a regra da cadeia: $$Q'(z) = 100 \cdot \frac{2}{3}(64+4z)^{ 1/3} \cdot 4$$ Simplificando: $$Q'(z) = \frac{800}{3}(64+4z)^{ 1/3} = \frac{800}{3\sqrt[3]{64+4z}}$$ Respostas Detalhadas a) Declividade da reta tangente à função Q A declividade é dada pela derivada em qualquer ponto $z$: $$m = Q'(z) = \frac{800}{3\sqrt[3]{64+4z}}$$ Esta expressão representa a inclinação da reta tangente em qualquer semana $z$. b) Taxa de aumento inicialmente (z = 0) Substituindo $z = 0$ na derivada: $$Q'(0) = \frac{800}{3\sqrt[3]{64+4(0)}} = \frac{800}{3\sqrt[3]{64}}$$ Como $\sqrt[3]{64} = 4$: $$Q'(0) = \frac{800}{3 \cdot 4} = \frac{800}{12} = \frac{200}{3} \approx 66,67$$ Inicialmente, os afiliados aumentavam a uma taxa de aproximadamente 66,67 por semana. c) Taxa de aumento na 40ª semana (z = 40) Substituindo $z = 40$ na derivada: $$Q'(40) = \frac{800}{3\sqrt[3]{64+4(40)}} = \frac{800}{3\sqrt[3]{64+160}} = \frac{800}{3\sqrt[3]{224}}$$ Calculando $\sqrt[3]{224} \approx 6,07$: $$Q'(40) \approx \frac{800}{3 \cdot 6,07} \approx \frac{800}{18,21} \approx 43,93$$ Na 40ª semana, os afiliados aumentavam a uma taxa de aproximadamente 43,93 por semana. d) Número de afiliados nos momentos solicitados | Momento | Substituição | Resultado | | | | | | Abertura (z=0) | $Q(0) = 100(64)^{2/3}$ | $100 \cdot 16 = 1.600$ | | 40ª semana (z=40) | $Q(40) = 100(224)^{2/3}$ | $\approx 100 \cdot 36,84 = 3.684$ | Quando aberta: 1.600 afiliados Na 40ª semana: aproximadamente 3.684 afiliados Questão 7: Derivadas Sucessivas a) f(x) = 16x² + 5x³ + 87 278x + x + 92x Primeiro simplificamos os termos semelhantes: $$f(x) = 5x^3 + 16x^2 + ( 278 + 1 + 92)x + 87 = 5x^3 + 16x^2 185x + 87$$ Derivadas sucessivas: | Ordem | Derivada | Resultado | | | | | | f¹(x) | 1ª derivada | $15x^2 + 32x 185$ | | f²(x) | 2ª derivada | $30x + 32$ | | f³(x) | 3ª derivada | $30$ | | f⁴(x) | 4ª derivada | $0$ | Nota: Após a 3ª derivada, todas as derivadas seguintes são nulas (polinômio de grau 3). b) f(x) = 12x⁴ + 7x³ 32x² + 1 Derivadas sucessivas: | Ordem | Derivada | Resultado | | | | | | f¹(x) | 1ª derivada | $48x^3 + 21x^2 64x$ | | f²(x) | 2ª derivada | $144x^2 + 42x 64$ | | f³(x) | 3ª derivada | $288x + 42$ | | f⁴(x) | 4ª derivada | $288$ | | f⁵(x) | 5ª derivada | $0$ | Nota: Polinômio de grau 4 → derivada 5ª é zero. c) f(x) = 14x³ 88x³ + 12x³ Simplificando primeiro: $$f(x) = (14 88 + 12)x^3 = 62x^3$$ Derivadas sucessivas: | Ordem | Derivada | Resultado | | | | | | f¹(x) | 1ª derivada | $ 186x^2$ | | f²(x) | 2ª derivada | $ 372x$ | | f³(x) | 3ª derivada | $ 372$ | | f⁴(x) | 4ª derivada | $0$ | d) f(x) = 120x² 33x⁴ Reordenando para facilitar: $$f(x) = 33x^4 + 120x^2$$ Derivadas sucessivas: | Ordem | Derivada | Resultado | | | | | | f¹(x) | 1ª derivada | $ 132x^3 + 240x$ | | f²(x) | 2ª derivada | $ 396x^2 + 240$ | | f³(x) | 3ª derivada | $ 792x$ | | f⁴(x) | 4ª derivada | $ 792$ | | f⁵(x) | 5ª derivada | $0$ | Conclusão Pontos chave aprendidos: Regra da potência : Para $f(x) = ax^n$, temos $f'(x) = anx^{n 1}$ Regra da cadeia : Necessária quando há funções compostas como $(64+4z)^{2/3}$ Polinômios de grau n : A derivada de ordem n+1 será sempre zero Interpretação física : A derivada representa a taxa de variação instantânea (velocidade de crescimento dos afiliados) Estas questões demonstram a aplicação prática de derivadas em problemas de otimização e análise de crescimento!

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Resolução de Questões de Cálculo - Derivadas

Questão 6: Função de Afiliados de Rede de Lanchonetes

Análise das Derivadas

Respostas Detalhadas

a) Declividade da reta tangente à função Q

b) Taxa de aumento inicialmente (z = 0)

c) Taxa de aumento na 40ª semana (z = 40)

d) Número de afiliados nos momentos solicitados

Questão 7: Derivadas Sucessivas

a) f(x) = 16x² + 5x³ + 87 - 278x + x + 92x

b) f(x) = 12x⁴ + 7x³ - 32x² + 1

c) f(x) = 14x³ - 88x³ + 12x³

d) f(x) = 120x² - 33x⁴

Conclusão

Mais questões de Matemática — Cálculo

Tem outra questão de Matemática — Cálculo?

Momento	Substituição	Resultado
Abertura (z=0)	$Q(0) = 100(64)^{2/3}$	$100 \cdot 16 = 1.600$
40ª semana (z=40)	$Q(40) = 100(224)^{2/3}$	$\approx 100 \cdot 36,84 = 3.684$

Ordem	Derivada	Resultado
f¹(x)	1ª derivada	$15x^2 + 32x - 185$
f²(x)	2ª derivada	$30x + 32$
f³(x)	3ª derivada	$30$
f⁴(x)	4ª derivada	$0$

Ordem	Derivada	Resultado
f¹(x)	1ª derivada	$48x^3 + 21x^2 - 64x$
f²(x)	2ª derivada	$144x^2 + 42x - 64$
f³(x)	3ª derivada	$288x + 42$
f⁴(x)	4ª derivada	$288$
f⁵(x)	5ª derivada	$0$

Ordem	Derivada	Resultado
f¹(x)	1ª derivada	$-186x^2$
f²(x)	2ª derivada	$-372x$
f³(x)	3ª derivada	$-372$
f⁴(x)	4ª derivada	$0$

Ordem	Derivada	Resultado
f¹(x)	1ª derivada	$-132x^3 + 240x$
f²(x)	2ª derivada	$-396x^2 + 240$
f³(x)	3ª derivada	$-792x$
f⁴(x)	4ª derivada	$-792$
f⁵(x)	5ª derivada	$0$