Resolva a integral de raiz quadrada de (x² + 2z - 5)

Question

Resolva a integral de raiz quadrada de (x² + 2z 5)

Sapien IA · Accepted Answer

Resolução da Integral

Resumo da Resposta

A integral $\int \sqrt{x^2 + 2z - 5} \, dx$ requer substituição trigonométrica ou o uso de uma fórmula padrão para integrais do tipo $\sqrt{x^2 + a^2}$ . O resultado final é:

\frac{x}{2}\sqrt{x^2 + 2z - 5} + \frac{2z - 5}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 2z - 5}\right| + C

Desenvolvimento

Identificando o Problema

Esta é uma integral indefinida com duas variáveis ( $x$ e $z$ ). Precisamos assumir que estamos integrando em relação a ** $x$**, tratando $z$ como constante.

Passo 1: Simplificar a Expressão

Vamos definir $a^2 = 2z - 5$ , transformando a integral em:

\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx

Passo 2: Aplicar Fórmula Padrão

Para integrais da forma $\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx$ , utilizamos a fórmula conhecida:

\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C

Passo 3: Substituir de Volta

Trocando $a^2 = 2z - 5$ :

\frac{x}{2}\sqrt{x^2 + 2z - 5} + \frac{2z - 5}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 2z - 5}\right| + C

## Análise

Tipo de Integral: Indefinida (sem limites de integração)
Variável de Integração: $x$ (assumido por convenção)
Constante: $z$ tratada como parâmetro fixo
Método Utilizado: Fórmula padrão para raiz quadrada de expressão quadrática
Cuidado Necessário: A expressão dentro da raiz deve ser não-negativa para existir no domínio real

Conclusão

A solução completa da integral é:

\boxed{\int \sqrt{x^2 + 2z - 5} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + 2z - 5} + \frac{2z - 5}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 2z - 5}\right| + C}

Nota: Em questões de concurso/vestibular, geralmente este tipo de problema aparece como múltipla escolha ou com valores específicos para $z$ e limites de integração definidos. Verifique se há informações complementares no enunciado original.

Explicação passo a passo

Resumo da resposta