Resolva o problema de contorno que atenda à equação 16x'' + x = 0, x(0) = 4 e x(2π) = 3.

Alternativa B

O problema apresenta uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a função específica que satisfaz tanto a equação quanto as condições de contorno fornecidas.

Resolução Passo a Passo

1. Identificar o Tipo de Equação
   A equação dada é $16x'' + x = 0$. Aqui, x representa a variável dependente (função) e o argumento das condições (como x(0) e x(2\pi)) sugere que a variável independente seja outra, por exemplo, t. Contudo, nas opções de resposta, a variável independente aparece como x. Vamos resolver considerando a variável independente genérica t para evitar confusão.

1. Resolver a Equação Característica
   Para equações da forma ay'' + by' + cy = 0, substituímos y por e^{rt}.
   16r^2 + 1 = 0
   r^2 = -\frac{1}{16}
   r = \pm \frac{i}{4}

Como as raízes são imaginárias puras (\alpha \pm i\beta onde \alpha=0 e \beta=\frac{1}{4}), a solução geral envolve seno e cosseno.

1. Escrever a Solução Geral
   x(t) = C_1 \cos\left(\frac{t}{4}\right) + C_2 \sin\left(\frac{t}{4}\right)
2. Aplicar as Condições de Contorno

• Condição 1: x(0) = 4
  Substituindo t=0:
  4 = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)
  4 = C_1(1) + 0 \Rightarrow C_1 = 4
• Condição 2: x(2\pi) = 3
  Substituindo t=2\pi e sabendo que C_1 = 4:
  3 = 4 \cos\left(\frac{2\pi}{4}\right) + C_2 \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right)
  3 = 4 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C_2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)
  Sabemos que \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 e \sin(\frac{\pi}{2}) = 1:
  3 = 4(0) + C_2(1)
  C_2 = 3

1. Montar a Solução Final
   Substituindo os valores de C_1 e C_2 na solução geral:
   x(t) = 4 \cos\left(\frac{t}{4}\right) + 3 \sin\left(\frac{t}{4}\right)

Observando as alternativas, percebe-se que o enunciado utiliza a letra x tanto para a função quanto para a variável independente nas opções. Adaptando nossa variável t para x conforme o padrão das alternativas:
4 \cos\left(\frac{x}{4}\right) + 3 \sin\left(\frac{x}{4}\right)

Conclusão

A alternativa que corresponde exatamente à solução encontrada é a B. As outras opções apresentam formas incorretas (exponenciais ou lineares) ou coeficientes errados.

Alternativa B