Resolva pelo método de Gauss-Seidel com precisão de duas casas decimais o sistema: 4x+y+2z=9; x+5y-3z=-2; 2x+y+6z=-5

Alternativa A

O sistema de equações lineares fornecido deve ser resolvido utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel. Para que o método funcione corretamente, a matriz dos coeficientes deve ser diagonalmente dominante ou simétrica definida positiva.

Análise do Sistema

Verificamos a condição de dominância diagonal para garantir convergência:

• Linha 1: |4| > |1| + |2| (Verdadeiro)
• Linha 2: |5| > |1| + |-3| (Verdadeiro)
• Linha 3: |6| > |2| + |1| (Verdadeiro)

Como a condição é satisfeita em todas as linhas, o método converge para a solução única do sistema.

Aplicação do Método

Isolamos as variáveis principais em cada equação para formar as fórmulas de iteração:

• x^{(k+1)} = \frac{9 - y^{(k)} - 2z^{(k)}}{4}
• y^{(k+1)} = \frac{2 - x^{(k+1)} + 3z^{(k)}}{5}
• z^{(k+1)} = \frac{-5 - 2x^{(k+1)} - y^{(k+1)}}{6}

Utilizando uma estimativa inicial de (0, 0, 0), as iterações sucessivas aproximam os valores das raízes reais.

Validação da Resposta

Calculando a solução exata por substituição direta para validar as alternativas:

• z = -\frac{30}{17} \approx -1,764705
• x = \frac{59}{17} \approx 3,470588
• y = -\frac{23}{17} \approx -1,352941

Comparando com as opções disponíveis:

• Alternativa A: Corresponde exatamente aos valores calculados.
• Alternativas B, C e D: Apresentam valores inconsistentes com a solução matemática do sistema.

Portanto, a convergência do método leva ao conjunto de valores apresentado na primeira opção.