Sabe-se que a incidência dos raios solares na superfície de um rio faz com que a água seja mais quente nesta região e por isso os peixes ficam posicionados em regiões mais profundas. Seja f(x,y,z) = x sen(yz) a função que mede a temperatura em °C de um ponto dentro de um rio. Esse ponto P(x,y,z) possui as coordenadas medidas em metros. Suponha que a isca de um pescador esteja localizada no ponto P(1,3,0). O pescador precisa ajustar a boia da sua vara de pesca e posicionar sua isca na região em que os peixes se encontram. Adicionalmente sabemos que os peixes estão na região em que a temperatura varia entre 10 e 20°C. A partir dessas informações, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.

Alternativa D - A taxa máxima de aumento da temperatura no ponto P(1,3,0) é de 3 °C/m

Análise Detalhada

Para resolver esta questão, precisamos aplicar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o vetor gradiente e suas propriedades relacionadas à taxa de variação de uma função.

1. Verificação da Temperatura Atual (Alternativa A)

Primeiro, verificamos se a isca já está na posição ideal. A função de temperatura é:
f(x,y,z) = x \cdot \sin(yz)

Substituindo as coordenadas do ponto P(1, 3, 0):
f(1, 3, 0) = 1 \cdot \sin(3 \cdot 0) = \sin(0) = 0

A temperatura atual é $0^\circ C$. Como os peixes precisam de temperaturas entre $10^\circ C$ e $20^\circ C$, a isca não está na região correta.
\Rightarrow Alternativa A incorreta.

2. Cálculo do Vetor Gradiente

O vetor gradiente \nabla f indica a direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y,z) = x \sin(yz):

• Em relação a x: f_x = \sin(yz)
• Em relação a y: f_y = x \cdot \cos(yz) \cdot z = xz \cos(yz) (Regra da cadeia)
• Em relação a z: f_z = x \cdot \cos(yz) \cdot y = xy \cos(yz) (Regra da cadeia)

Montamos o vetor gradiente geral:
\nabla f(x,y,z) = (\sin(yz), \ xz \cos(yz), \ xy \cos(yz))

3. Avaliação no Ponto P(1, 3, 0)

Substituímos x=1, y=3, z=0 no vetor gradiente:

• f_x = \sin(0) = 0
• f_y = 1 \cdot 0 \cdot \cos(0) = 0
• f_z = 1 \cdot 3 \cdot \cos(0) = 3

Portanto, o vetor gradiente no ponto P é:
\nabla f(1, 3, 0) = (0, 0, 3)

4. Interpretação das Alternativas

• Sobre a Direção (Alternativas B e C): O vetor gradiente (0, 0, 3) aponta para a direção de maior aumento da temperatura (eixo Z positivo). Para encontrar os peixes (água mais fria), o pescador deveria ir na direção oposta (decréscimo), ou seja, sentido do eixo Z negativo. A alternativa B sugere o vetor (0,0,1) como direção de diminuição, o que é fisicamente contrário ao resultado do gradiente (que indica aumento).
• Sobre a Taxa Máxima (Alternativa D): O enunciado informa que "o módulo do vetor gradiente determina a taxa máxima". Calculamos o módulo do vetor encontrado acima:
  |\nabla f(1, 3, 0)| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3
  Isso significa que a temperatura aumenta, no máximo, $3^\circ C$ para cada metro percorrido na direção do gradiente.

\Rightarrow Alternativa D correta.