Sabemos que a incidência dos raios solares na superfície de um rio faz com que a água seja mais quente nesta região e por isso os peixes ficam posicionados em regiões mais profundas. Seja f(x,y,z)=x*sen(yz) a função que mede a temperatura em °C de um ponto de dentro de um rio. Essa ponto P(x,y,z) possui as coordenadas medidas em metros. Suponha que a isca de um pescador esteja localizada no ponto P(1, 3, 0). O pescador precisa ajustar a sua vara de pesca e posicionar sua isca na região em que a temperatura esteja entre 10 e 20°C. Adicionalmente sabemos que os peixes estão na região em que a temperatura varia entre 10 e 20°C. Partindo dessas informações, avalie as afirmações e assinale a alternativa correta.

Alternativa D - A direção na qual o pescador deve movimentar sua isca é indicada pelo vetor v=(0,0,3) pois, esta é a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente.

Análise da Questão

Para resolver este problema de Cálculo Multivariável, precisamos entender três pontos principais: a temperatura atual da isca, a condição desejada para os peixes e o significado físico do vetor gradiente.

1. Temperatura Atual vs. Desejada

Primeiro, calculamos a temperatura no ponto onde a isca está localizada (P(1, 3, 0)) usando a função dada:

Substituindo as coordenadas:

A temperatura atual é $0^\circ\text{C}**. Os peixes estão em temperaturas entre **$10^\circ\text{C} e $20^\circ\text{C}$.

Isso nos permite eliminar imediatamente as alternativas A e B, pois a isca precisa ser movida para aumentar a temperatura de $0^\circ\text{C}$ para a faixa de $10-20^\circ\text{C}$.

2. Conceito do Vetor Gradiente

O enunciado fornece a fórmula do gradiente e uma dica importante: "O vetor gradiente indica em qual direção ocorre a maior taxa de variação."

No contexto de funções de temperatura:

• O vetor gradiente \nabla f aponta na direção de maior aumento da temperatura.
• O vetor oposto -\nabla f apontaria na direção de maior diminuição.

Como precisamos aumentar a temperatura (de $0^\circ\text{C}$ para algo positivo), devemos nos mover na direção do gradiente.

3. Cálculo do Gradiente no Ponto P

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y,z) = x \sin(yz):

• Em relação a x: f_x = \sin(yz)
• Em relação a y: f_y = x \cdot \cos(yz) \cdot z
• Em relação a z: f_z = x \cdot \cos(yz) \cdot y

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto P(1, 3, 0):

• f_x(1,3,0) = \sin(0) = 0
• f_y(1,3,0) = 1 \cdot \cos(0) \cdot 0 = 0
• f_z(1,3,0) = 1 \cdot \cos(0) \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3

O vetor gradiente resultante é:

Conclusão Comparativa

Portanto, a direção correta para mover a isca é dada pelo vetor (0, 0, 3), visando o aumento da temperatura.

A alternativa D está correta ao afirmar que essa é a direção onde a temperatura aumenta mais rapidamente. A alternativa C estaria errada porque indicaria uma diminuição.