Sabemos que as derivadas indicam a taxa de variação de uma determinada função. As derivadas parciais, por sua vez, indicam a taxa de variação entre variáveis distintas. Seja T(x,y,z) = x² – xy + z² a função que mede a temperatura em °C de um ponto em uma chapa de aço. Esse ponto P(x,y,z) possui as coordenadas x (largura) e y (altura) medidas em metros e z (tempo) em segundos. A partir dessas informações, avalie as afirmações e assinale a alternativa correta.

Alternativa C

Para resolver esta questão, precisamos entender o significado físico e matemático das derivadas parciais aplicadas à função dada e realizar os cálculos correspondentes.

Conceitos Fundamentais

A função fornecida é T(x, y, z) = x^2 - xy + z^2, onde:

• x representa a largura;
• y representa a altura;
• z representa o tempo.

Uma derivada parcial em relação a uma variável específica indica a taxa de variação da função em relação a essa variável, mantendo todas as outras variáveis constantes. Por exemplo:

• \frac{\partial T}{\partial x}: variação da temperatura em relação à largura.
• \frac{\partial T}{\partial y}: variação da temperatura em relação à altura.
• \frac{\partial T}{\partial z}: variação da temperatura em relação ao tempo.

Cálculo das Derivadas Parciais

Vamos calcular as derivadas parciais da função T em relação a cada variável:

Agora, vamos substituir os valores do ponto P(1, 3, 2), onde x=1, y=3 e z=2:

• Para a variável z (tempo):
  \frac{\partial T}{\partial z} = 2(2) = 4

Isso significa que, naquele ponto específico, a temperatura varia a uma taxa de $4^\circ C$ por segundo, mantendo a posição fixa.

Análise das Alternativas

• Alternativa A: Incorreta. A notação \frac{\partial T}{\partial y} refere-se à variável y (altura), não à largura (x).
• Alternativa B: Incorreta. A notação \frac{\partial T}{\partial z} refere-se à variável z (tempo), não à largura (x).
• Alternativa C: Correta. O cálculo confirma que para z=2, a derivada \frac{\partial T}{\partial z} = 4. A interpretação também está correta: é a variação em relação ao tempo, mantendo as posições fixas.
• Alternativa D: Incorreta. O cálculo mostra que \frac{\partial T}{\partial y} = -x = -1, e não $12$.

Portanto, a única afirmação matematicamente e conceitualmente correta é a letra C.