Sabemos que as derivadas parciais indicam a taxa de variação de uma determinada função. As derivadas parciais, por sua vez, indicam a taxa de variação variáveis distintas. Seja T(x, y, z) = x² - xy + z² a função que mede a temperatura em °C de um ponto em uma chapa de aço. Esse ponto P(x, y, z) possui as coordenadas x (largura) e y (altura) medidas em metros e z (tempo) em segundos. A partir dessas informações, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.

Alternativa C

A questão envolve o cálculo e a interpretação de derivadas parciais aplicadas a uma função de três variáveis (x, y, z) que representa a temperatura.

Para resolver, precisamos entender o significado físico das variáveis e calcular a taxa de variação específica solicitada.

Definições Iniciais

Primeiro, vamos mapear as variáveis dadas no enunciado para a função T(x, y, z) = x^2 - xy + z^2:

• x: largura (em metros)
• y: altura (em metros)
• z: tempo (em segundos)

Uma derivada parcial mede como a função muda quando alteramos apenas uma variável, mantendo as outras constantes.

Análise das Alternativas

Vamos analisar cada opção passo a passo para identificar a correta:

• Alternativa A (Incorreta): Afirma que \frac{\partial T}{\partial y} é a variação em relação à largura (x). Isso está errado, pois o símbolo \frac{\partial T}{\partial y} indica variação em relação à variável y (altura).
• Alternativa B (Incorreta): Afirma que \frac{\partial T}{\partial z} é a variação em relação à largura (x). Isso está errado, pois \frac{\partial T}{\partial z} indica variação em relação ao tempo (z).
• Alternativa C (Correta):

1. Calcula a derivada parcial em relação ao tempo (z):
   \frac{\partial T}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^2 - xy + z^2) = 0 - 0 + 2z = 2z
2. Substitui os valores do ponto P(1, 3, 2), onde z = 2:
   \frac{\partial T}{\partial z}\bigg|_{P} = 2(2) = 4
3. A afirmação diz que a variação é 4, o que corresponde exatamente ao cálculo realizado.

• Alternativa D (Incorreta):

1. Calcula a derivada parcial em relação à altura (y):
   \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - xy + z^2) = 0 - x + 0 = -x
2. Substitui os valores do ponto P(1, 3, 2), onde x = 1:
   \frac{\partial T}{\partial y}\bigg|_{P} = -1
3. O valor calculado é -1, não $12$, tornando a afirmação falsa.

Conclusão

A alternativa C é a única correta, pois apresenta tanto o cálculo matemático correto da derivada parcial quanto a interpretação física adequada do resultado no ponto especificado.