Sabendo disso determine a transformada inversa de: f(t) = (3/s) - (5/(s+1)) + (6/(s^2+4))

Alternativa A

Para determinar a transformada inversa de Laplace da função dada, aplicamos a propriedade da linearidade, analisando cada termo da expressão individualmente. A função original é:

Vamos decompor a resolução em três partes principais:

Análise dos Termos

1. Primeiro Termo: $\frac{3}{s}$

• A transformada inversa de \frac{1}{s} corresponde à função degrau unitário, denotada por u(t).
• Multiplicando pelo coeficiente 3, temos:
  \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{s}\right\} = 3u(t)

1. Segundo Termo: $-\frac{5}{s+1}$

• A forma geral para exponenciais decrescentes é \frac{1}{s+a}, cuja transformada inversa é e^{-at}.
• Neste caso, a=1. Mantendo o sinal negativo e o coeficiente 5:
  \mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{5}{s+1}\right\} = -5e^{-1t} = -5e^{-t}

1. Terceiro Termo: $\frac{6}{s^2+4}$

• Esta forma lembra a transformada do seno: \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \Rightarrow \text{sen}(\omega t).
• Observamos que $4 = 2^2$, logo \omega = 2.
• O numerador deve ser igual a \omega (que é 2), mas temos 6. Reescrevemos o termo como $3 \times \frac{2}{s^2+4}$:
  \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{6}{s^2+4}\right\} = 3 \cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^2+2^2}\right\} = 3\text{sen}(2t)

Resultado Final

Somando as três partes obtidas, chegamos à função no domínio do tempo:

Essa expressão coincide exatamente com a opção apresentada.

Análise das Alternativas