Sabendo-se que a incidência dos raios solares na superfície de um rio com a água seja mais quente nessa região e por isso os peixes ficam posicionados em regiões mais profundas. Seja f(x,y,z) a função que mede a temperatura em °C de um ponto de um rio. Existe o ponto P(x,y,z) cujas coordenadas medidas em metros, suponha que a isca de um pescador esteja localizada no ponto P(1, 3, 0). O pescador precisa ajustar a boia da sua vara de pesca e posicionar sua isca na região em que os peixes estão. Adicionalmente sabemos que os peixes estão na região em que a temperatura varia entre 10 e 20°C. A partir dessas informações, avalie as afirmações e assinale a alternativa correta.

Alternativa B - O pescador precisa movimentar sua isca, pois ela não está na região entre 10 e 20°C

Introdução

Esta questão envolve cálculo de funções de várias variáveis, especificamente avaliação de funções e propriedades do gradiente (direção de crescimento). O objetivo é determinar a posição térmica da isca e a direção adequada para atingir a faixa de temperatura desejada pelos peixes.

Desenvolvimento

1. Cálculo da Temperatura Atual

Primeiro, devemos calcular a temperatura no ponto exato onde a isca está localizada, P(1, 3, 0), utilizando a função fornecida:
f(x,y,z) = x \cdot \sin(yz)

Substituindo as coordenadas do ponto P:

• x = 1
• y = 3
• z = 0

A temperatura no ponto da isca é 0°C.

2. Verificação da Condição dos Peixes

O enunciado informa que os peixes estão em regiões onde a temperatura varia entre 10°C e 20°C.
Comparando o valor encontrado com a faixa desejada:

• Temperatura atual: $0^\circ\text{C}$
• Faixa ideal: [10, 20]

Como $0 < 10$, a isca não está na região adequada. Portanto, o pescador precisa movê-la. Isso confirma a validade da Alternativa B e invalida a Alternativa A.

3. Análise das Direções (Gradiente)

Para avaliar as alternativas C e D, precisamos encontrar a direção de maior variação da temperatura usando o Gradiente (\nabla f). O gradiente aponta na direção de maior aumento da função.

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y,z) = x \cdot \sin(yz):

• Derivada em x: f_x = \sin(yz)
• Derivada em y: f_y = x \cdot z \cdot \cos(yz)
• Derivada em z: f_z = x \cdot y \cdot \cos(yz)

Avaliamos essas derivadas no ponto P(1, 3, 0) (lembrando que \sin(0)=0 e \cos(0)=1):

• f_x(1, 3, 0) = \sin(0) = 0
• f_y(1, 3, 0) = 1 \cdot 0 \cdot \cos(0) = 0
• f_z(1, 3, 0) = 1 \cdot 3 \cdot \cos(0) = 3

O vetor gradiente é \nabla f(1, 3, 0) = (0, 0, 3).
Isso significa que a direção de maior aumento da temperatura é o vetor (0, 0, 1) (direção do eixo Z positivo).

Analisando as opções restantes:

• Alternativa C: Afirma que o vetor (0,0,1) é a direção de diminuição. Isso está incorreto; (0,0,1) é a direção de maior aumento. Além disso, se a temperatura diminuísse, iria para valores negativos, longe da faixa desejada.
• Alternativa D: Afirma que o vetor (0,1,0) é a direção de maior aumento. Isso está incorreto, pois a derivada parcial em relação a y é zero naquele ponto (f_y=0), logo, mover nessa direção não altera a temperatura instantaneamente.

Análise

Conclusão

A única afirmação correta é a Alternativa B, pois o cálculo direto demonstra que a isca está em uma temperatura (0°C) incompatível com a necessidade dos peixes (entre 10°C e 20°C).