Sabendo-se que a incidência dos raios solares na superfície de um rio faz com que a água seja mais quente nesta região e por isso os peixes ficam posicionados em regiões mais profundas. Seja $f(x,y,z) = x ext{sen}(yz)$ a temperatura em °C em um ponto dentro de um rio. Se a isca do pescador está localizada no ponto $P(1, 3, 0)$. O pescador precisa ajustar a sua vara de pesca e posicionar sua isca na região em que os peixes estão. Adicionalmente sabemos que os peixes estão em que a temperatura varia entre 10 e 20°C. A partir dessas informações, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.

Alternativa D

Para resolver esta questão, precisamos analisar duas etapas principais: verificar a temperatura atual da isca e determinar a melhor direção para alcançarmos a temperatura desejada usando o conceito de vetor gradiente.

1. Verificação da Temperatura Atual

Primeiro, calculamos a temperatura no ponto onde a isca está localizada, P(1, 3, 0), substituindo as coordenadas na função dada:
f(x,y,z) = x \cdot \sin(yz)
f(1, 3, 0) = 1 \cdot \sin(3 \cdot 0) = 1 \cdot \sin(0) = 0

A temperatura atual é $0^\circ C$. Como os peixes estão em regiões onde a temperatura varia entre $10^\circ C$ e $20^\circ C$, a isca não está na posição correta. Isso elimina as alternativas A e B, pois o pescador precisa sim mover a isca.

2. Cálculo do Vetor Gradiente

O problema pede para identificar a direção ideal. O vetor gradiente (\nabla f) indica a direção de maior aumento da função. Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z) = x \cdot \sin(yz):

• Derivada em relação a x (f_x):
  f_x = \sin(yz)
  Em P(1,3,0): \sin(0) = 0
• Derivada em relação a y (f_y):
  f_y = x \cdot \cos(yz) \cdot z (Regra da cadeia)
  Em P(1,3,0): $1 \cdot \cos(0) \cdot 0 = 0$
• Derivada em relação a z (f_z):
  f_z = x \cdot \cos(yz) \cdot y (Regra da cadeia)
  Em P(1,3,0): $1 \cdot \cos(0) \cdot 3 = 3$

O vetor gradiente no ponto P é:
\nabla f(1,3,0) = (0, 0, 3)

Conclusão e Análise das Alternativas

Temos agora dois fatos fundamentais:

1. A temperatura atual é $0^\circ C$ e queremos aumentar para algo entre $10^\circ C$ e $20^\circ C$.
2. O vetor (0, 0, 3) aponta na direção de crescimento máximo da temperatura.

Comparando com as opções restantes:

• Alternativa C: Afirma que a temperatura diminui. Isso estaria correto se usássemos o vetor oposto -(0,0,3). Como queremos aumentar a temperatura, esta opção está errada.
• Alternativa D: Afirma que a direção é indicada por v=(0,0,3) e que a temperatura aumenta mais rapidamente. Isso está matematicamente correto e alinhado com o objetivo do pescador.

Portanto, a alternativa correta é a D.