Sabendo-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial $\frac{dy}{dx} = x^2 y$:

Resolução da Questão

Alternativa A

Introdução à Solução

Para encontrar a solução da equação diferencial \frac{dy}{dx} = x^2 y, devemos utilizar o método de separação de variáveis. Este método consiste em agrupar todos os termos contendo a variável y em um lado da igualdade e todos os termos contendo a variável x no outro lado, permitindo a integração direta.

Desenvolvimento Passo a Passo

1. Separação das Variáveis:
   Dividimos ambos os lados da equação por y e multiplicamos por dx:
   \frac{1}{y} dy = x^2 dx
2. Integração:
   Integramos ambos os membros da equação:
   \int \frac{1}{y} dy = \int x^2 dx

• O lado esquerdo resulta no logaritmo natural: \ln|y|
• O lado direito resulta na regra da potência: \frac{x^3}{3} + C_1

Assim, temos:
\ln|y| = \frac{x^3}{3} + C_1

1. Isolamento de y:
   Para encontrar a função explícita y(x), aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
   |y| = e^{\left(\frac{x^3}{3} + C_1\right)}

Usando propriedades de potências (e^{a+b} = e^a \cdot e^b):
|y| = e^{C_1} \cdot e^{x^3/3}

Ao remover o módulo, introduzimos uma constante arbitrária C (onde C = \pm e^{C_1}):
y = C \cdot e^{x^3/3}

## Análise das Alternativas

Ao compararmos nossa solução geral y = C e^{x^3/3} com as opções fornecidas:

• Alternativa A (y = -e^{x^3/3 + C}): Esta alternativa apresenta o termo exponencial correto e^{x^3/3}. Embora o sinal negativo e a forma da constante pareçam específicos, ela satisfaz a equação diferencial ao derivar:
  \frac{dy}{dx} = -e^{x^3/3 + C} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + C\right) = y \cdot x^2
  Portanto, é a única opção matematicamente consistente com o expoente gerado pela integração de x^2.
• Alternativa B (\ln|y| + x^3 = C): Incorreta. A integral de x^2 gera x^3/3, não x^3. Além disso, a derivação levaria a um sinal negativo na equação.
• Alternativa C (y = -e^{x^2 + C}): Incorreta. O expoente x^2 indica que a integral teria sido feita incorretamente (como se integrasse x em vez de x^2).
• Alternativa D ($3 \ln|y| = x^2 + C$): Incorreta. Os coeficientes e potências não correspondem às regras de integração básicas.
• Alternativa E (y = e^{x^3 + 3C}): Incorreta. O termo x^3 no expoente está faltando o denominador $3$ (divisor) proveniente da regra da potência.

Conclusão

A alternativa correta é a A, pois é a única que apresenta o termo exponencial e^{x^3/3}, resultante da integração correta de x^2.