Saibe-se que a incidência dos raios solares na superfície de um rio faz com que a água seja mais quente nesta região e por isso os peixes ficam posicionados em regiões mais profundas. Seja $f(x,y,z) = x ext{sen}(yz)$ a função de temperatura em °C de um ponto dentro de um rio. Esse ponto $P(x,y,z)$ possui as coordenadas medidas em metros. Suponha que a isca de um pescador esteja localizada na região em que a temperatura varia entre 10 °C e 20 °C. Qual das afirmações a seguir é correta?

Alternativa D

Para resolver este problema de Cálculo Vetorial, precisamos analisar a função de temperatura f(x, y, z) e suas derivadas parciais no ponto específico onde a isca está localizada.

Passo 1: Calcular a temperatura atual

Primeiro, verificamos a afirmação da alternativa A calculando a temperatura no ponto P(1, 3, 0).
Substituindo as coordenadas na função f(x, y, z) = x \cdot \text{sen}(yz):

Como a temperatura atual é $0^\circ\text{C}$ e os peixes precisam de temperaturas entre $10^\circ\text{C}$ e $20^\circ\text{C}$, a isca não está na região correta. Portanto, a alternativa A está incorreta.

Passo 2: Calcular o Vetor Gradiente

O gradiente da função indica a direção e a taxa máxima de variação. As componentes do gradiente são as derivadas parciais em relação a x, y e z.

1. Derivada em relação a x (f_x):
   f_x = \frac{\partial}{\partial x}[x \cdot \text{sen}(yz)] = \text{sen}(yz)
2. Derivada em relação a y (f_y):
   f_y = \frac{\partial}{\partial y}[x \cdot \text{sen}(yz)] = x \cdot \cos(yz) \cdot z = xz \cdot \cos(yz)
3. Derivada em relação a z (f_z):
   f_z = \frac{\partial}{\partial z}[x \cdot \text{sen}(yz)] = x \cdot \cos(yz) \cdot y = xy \cdot \cos(yz)

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto P(1, 3, 0), lembrando que \text{sen}(0) = 0 e \cos(0) = 1:

• f_x(1, 3, 0) = \text{sen}(0) = 0
• f_y(1, 3, 0) = 1 \cdot 0 \cdot \cos(0) = 0
• f_z(1, 3, 0) = 1 \cdot 3 \cdot \cos(0) = 3 \cdot 1 = 3

Assim, o vetor gradiente neste ponto é:
\nabla f(1, 3, 0) = (0, 0, 3)

Passo 3: Analisar as direções e taxas de variação

O vetor gradiente aponta para a direção de maior aumento da função.

• O vetor resultante é (0, 0, 3), que aponta ao longo do eixo z. Isso descarta a alternativa C, que sugere o vetor (0, 1, 0) (eixo y).
• Para aumentar a temperatura de $0^\circ\text{C}$ para $10\text{-}20^\circ\text{C}, o peixeiro deve seguir a direção do gradiente (aumento). A alternativa **B** sugere o vetor $(0, 0, 1) mas afirma que a temperatura diminui, o que é incorreto (o vetor gradiente indica aumento).

A taxa máxima de aumento é dada pelo módulo do vetor gradiente:
|\nabla f| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3

Isso significa que a temperatura pode aumentar no máximo a uma taxa de $3 \, ^\circ\text{C}/\text{m}$ naquele ponto.

Conclusão

A alternativa D está correta porque confirma que a taxa máxima de aumento (módulo do gradiente) é de $3 \, ^\circ\text{C}/\text{m}$.