Se ∇f = 2x + 3y², determine a derivada direcional no ponto (1, 1) na direção do vetor unitário u = i

Alternativa A

Este problema envolve o cálculo da derivada direcional de um campo escalar utilizando o gradiente e um vetor unitário de direção. Para resolver, precisamos substituir as coordenadas do ponto no gradiente e calcular o produto escalar com o vetor dado.

Desenvolvimento

Primeiro, avaliamos o gradiente \nabla f no ponto específico P(1, 1).
O gradiente fornecido é \nabla f = 2x\mathbf{i} + 3y^2\mathbf{j}.
Ao substituir x=1 e y=1, obtemos:
\nabla f(1, 1) = 2(1)\mathbf{i} + 3(1)^2\mathbf{j} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}

Em seguida, identificamos o vetor unitário de direção \mathbf{u}.
O enunciado define \mathbf{u} = \mathbf{i}, que em forma de componente cartesiana é \mathbf{u} = \langle 1, 0 \rangle.

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional D_{\mathbf{u}}f = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u}.
Calculamos o produto escalar entre os vetores resultantes:
D_{\mathbf{u}}f = \langle 2, 3 \rangle \cdot \langle 1, 0 \rangle = (2 \times 1) + (3 \times 0) = 2

Análise

• Cálculo do Gradiente: Substituição correta das coordenadas (1, 1) nas componentes $2x$ e $3y^2$ resulta em \langle 2, 3 \rangle.
• Vetor Direção: O vetor \mathbf{i} representa o eixo X, correspondendo a \langle 1, 0 \rangle.
• Produto Escalar: A multiplicação cruzada dos componentes gera $2 \times 1 + 3 \times 0$, eliminando a componente Y.
• Resultado Final: O valor numérico obtido é exatamente 2, correspondendo à alternativa A.

A resposta correta é a Alternativa A, pois o cálculo da derivada direcional neste contexto resulta em 2.