Alternativa A
O problema apresentado trata da resolução de uma equação diferencial ordinária (EDO) separável. O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a relação dada entre sua derivada e ela mesma.
Resolução Passo a Passo
Para resolver a equação \frac{dy}{dx} = x^2 y, utilizamos o método clássico de separação de variáveis:
- Separação: Agrupamos os termos com y do lado esquerdo e os termos com x do lado direito.
\frac{1}{y} \, dy = x^2 \, dx - Integração: Aplicamos a integral indefinida em ambos os lados da igualdade.
\int \frac{1}{y} \, dy = \int x^2 \, dx - Cálculo das integrais:
- O lado esquerdo resulta no logaritmo natural: \ln|y|.
- O lado direito utiliza a regra da potência (\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}): \frac{x^3}{3} + C.
\ln|y| = \frac{x^3}{3} + C - Isolamento de $y$: Para obter a forma explícita, aplicamos a exponencial em ambos os lados.
|y| = e^{\frac{x^3}{3} + C}
y = \pm e^C \cdot e^{\frac{x^3}{3}}
Definindo uma nova constante K = \pm e^C, temos a solução geral y = K e^{x^3/3}.
Análise das Alternativas
Vamos verificar qual opção corresponde ao resultado encontrado matematicamente:
- Alternativa A: y = -e^{x^3/3 + c}.
Esta expressão pode ser reescrita como y = (-e^c) e^{x^3/3}. Como -e^c representa uma constante arbitrária negativa, a estrutura funcional e^{x^3/3} está correta. Ao derivar essa função usando a regra da cadeia, obtemos y' = y \cdot x^2, confirmando a solução original. - Alternativa B: Contém \ln|y| + x^3 = C. Isso implicaria que a integral de x^2 resultou em -x^3, o que está incorreto.
- Alternativa C: Apresenta e^{x^2}. Isso viria da integração de $2x$, não de x^2.
- Alternativa D: Apresenta $3 \ln|y| = x^2$. Isso sugeriria uma integração diferente e termos errados na potência de x.
- Alternativa E: Apresenta e^{x^3 + 3C}. Isso corresponderia a uma derivada com fator $3x^2$, indicando que o divisor 3 da integral de x^2 foi omitido.
Portanto, a única alternativa que reflete corretamente o expoente gerado pela integração de x^2 (que é x^3/3) é a letra A.