Alternativa B
O Teorema de Green é um resultado fundamental do cálculo vetorial que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada simples com uma integral dupla sobre a região plana delimitada por essa curva.
Para resolver a questão, devemos identificar as componentes P e Q da integral fornecida e calcular suas derivadas parciais específicas exigidas pelo teorema.
Análise dos Passos
- Identificação das funções:
Comparando a integral dada \int_C (4x^2y + 2)dx + (y^3 - x)dy com a forma padrão \int_C P dx + Q dy: - P(x, y) = 4x^2y + 2
- Q(x, y) = y^3 - x
- Cálculo das derivadas parciais:
O núcleo da integral dupla no Teorema de Green é dado por \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}. - Derivada de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y^3 - x) = 0 - 1 = -1 - Derivada de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(4x^2y + 2) = 4x^2(1) + 0 = 4x^2 - Aplicação da Fórmula:
Substituindo os resultados no integrando da integral dupla:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (-1) - (4x^2) = -1 - 4x^2
Portanto, a integral de linha equivale a:
\iint_D (-1 - 4x^2)dA
Esta expressão coincide exatamente com a segunda opção apresentada nas alternativas.